ガウス記号について。

(1)

　$[y] < 0 \iff y < 0$ は成り立ちます．

（証明）$y = y' + \varepsilon$（$y'$ は整数，$0 \leq \varepsilon < 1$）とする．$[y] < 0$ ならば，$y' < 0$ であり，$y'$ が整数ゆえに $y' \leq -1$； よって $y' + \varepsilon < 0$．逆に，$y < 0$ ならば $y' + \varepsilon < 0$ であり，$y' < -\varepsilon \leq 0$．

(2)

　$[y] \leq 0 \iff y \leq 0$ は，$(\Longleftarrow)$ については成り立ちますが，$(\Longrightarrow)$ については $y \in (0,1)$ のときが反例になります．

(3)

　$[y] > 0 \iff y > 0$ は，$(\Longrightarrow)$ については成り立ちますが，$(\Longleftarrow)$ については $y \in (0,1)$ のときが反例になります．

(4)

　$[y] \geq 0 \iff y \geq 0$ の成立は (1) と同じように証明できます．