⑴は平衡状態になったのでP1+P2にはならないのですか？

(1)

圧力を考えているのではなく、内部エネルギーを考えています。

初期状態の容器 $1$ に対して、気体の状態方程式より $p_1V_1=nRT_1$ が成り立ちます。

平衡状態の気体の物質量は $n [\mathrm{mol}]$ であり、温度は $T_1$ のままなので、内部エネルギーは $\dfrac{3}{2}nRT_1=\dfrac{3}{2}p_1V_1$ となります。

(2)

ピストンに対して常に力がつり合っているので、コックを開ける前後で圧力は一定です。温度も一定なので、ボイル・シャルルの法則より体積も一定となります。

つまり、容器 $1$ の体積の減少量が、容器 $2$ の体積と等しくなっています。

(4)(5)

コックを開けた後の気体は、圧力が変わらず $p_1$ であり、体積は $V_1+V_2-Sx_B$ で、温度は $T_1+\Delta T_B$ です。

したがって、気体の状態方程式は $p_1(V_1+V_2-Sx_B)=nR(T_1+\Delta T_B)$ となります。

温度変化は $\Delta T_B$ なので内部エネルギーの変化量は $\Delta U=\dfrac{3}{2}nR \Delta T_B$ となり、熱力学第一法則 $Q_{in}=\Delta U_{増} +W_{する}$ を用いることができます。