数Ⅲ 微分の質問です画像中の赤で示した部分で、なぜPQを2乗しているのでしょうか？また、PQ²=f(m)とおいて微分

Question

数Ⅲ 微分の質問です

画像中の赤で示した部分で、なぜPQを2乗しているのでしょうか？

また、PQ²=f(m)とおいて微分する理由も分からないです。どなたか教えて頂けると嬉しいです。

Accepted Answer

議論の目的は、$PQ$ の長さを最小とするような $m$ を求めることです。いまの場合これは $PQ^2$ を最小とするような $m$ を求めることと言っても変わりません。そこで $$ PQ = \sqrt{\dfrac{(m - 8)^2}{m^2} + (-m + 8)^2} $$ の最小値を考えるよりは $$ PQ^2 = \dfrac{(m - 8)^2}{m^2} + (-m + 8)^2 $$ の最小値を考える方が、式がいくらか単純で議論に適しています。（特にあとで微分するとき余計な計算をせずに済みます。）それで $PQ$ の代わりに $PQ^2$ を考えているのだと思います。 　$PQ^2 = f(m)$ と置いているのは単に読み手への配慮ではないかと思います。$PQ^2 = f(m)$ とおくことで、$PQ^2$ という数量が $m$ に依存した関数であることが明示的になります。すると、$m$ について微分するとき $(PQ^2)'$ の代わりに $f'(m)$ と書けるので、$m$ について微分していることが明示的になります。 　$PQ^2$ を $m$ について微分しているのは、$m$ に対する $PQ^2$ の変化の増減をしらべて $PQ^2$ が最小になるときの $m$ を求めるためです。