模範解答で気になるところがありました。

四角で囲った部分の不等式評価なんですが、こんなことしていいんですか？

もしこれをしていいなら、左は京大の過去問なんですが、途中で

$\dfrac{log_{10}2}{1-3log_{10}2}$ の評価が必要になるのですが、

そこでせかきょう(参考書俗名)も教学社の赤本も $f(x)=\dfrac{x}{1-3x}$ の単調増加性を利用して不等式評価しているのですが、こんなめんどくさいことしずに分数のまま不等式評価していいってことですか？

(もちろんこの京大の方なら分母分子を $log_{10}2$ で割ったり、分数の次数を下げるみたいにして $log_{10}2$ を式中に一つにしたりして単調増加性の証明を避けることはできますが。)

また、右の問題でこれ以外の方法がもし思いつくことができれば教えていただけると嬉しいです。