(2)初見で行ける人いるんですか？

とりあえず解いてみたけど、あんまり自信はない。

$x$について式変形すれば

$$\begin{align*}x\sin t&=\sin^2t+1\\x^2\sin^2t&=\sin^4t+2\sin^2t+1\\x^2&=\dfrac{\sin^4t+2\sin^2t+1}{\sin^2t}\\&=\dfrac{\sin^4t+1}{\sin^2t}+2\\&=y+2\\y&=-x^2-2\end{align*}$$

また、$x$の式を両辺$t$で微分して

$$\begin{align*}x\sin t&=\sin^2t+1\\x\cos t&=2\sin t\cos t\\x&=2\sin t\end{align*}$$

より$-2\leq x\leq2$

以上より、$y=-x^2-2\ (-2\leq x\leq2)$