因数分解の仕方を教えていただきたいです!

$$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA$$

を使う。

$A=x^4,B=x^2,C=1$(※)とすると、

$$\begin{align*}(x^4+x^2+1)^2&=x^8+x^4+1+2x^6+2x^2+2x^4\\&=x^8+2x^6+3x^4+2x^2+1\end{align*}$$

であるから、

$$\begin{align*}\text{与式}&=(x^4+x^2+1)^2-(x^6+2x^4+x^2)\\&=(x^4+x^2+1)^2-(x^3+x)^2\\&=\{(x^4+x^2+1)+(x^3+x)\}\{(x^4+x^2+1)-(x^3+x)\}\\&=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\ \square\end{align*}$$

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※なぜ$x^4,x^2,1$なのか。

例えば、$A=x^4,B=x^3,C=x^2$とすると

$$\begin{align*}AB&=x^7\\BC&=x^5\\CA&=x^6\end{align*}$$

となるが、与式には$x^7,x^5$の項は存在しない。

よって、$AB,BC,CA$が与式に存在するように$A,B,C$を決める必要がある。