解決済み

3で定義域の確認が不要なのは、式変形後の sin2θ+cos2θsin^2\theta + cos^2\theta に

1cosθ1,−1≦cosθ≦1,

1sinθ1−1≦sinθ≦1

が隠れて含まれている。からですか。

補足

訂正:sin2θ+cos2θ=1sin^2\theta + cos^2\theta =1

ベストアンサー

ベストアンサー

問題にθ\thetaの定義域がなく、求める曲線が楕円だからです。


例えば単位円x2+y2=1x^2+y^2=1を考えたとき、

x2+y2=1x=cosθ,y=sinθx^2+y^2=1\Longleftrightarrow x=\cos\theta,y=\sin\theta

ですよね。


これが半円x2+y2=1 (x0)x^2+y^2=1\ (x\geq0)ならば

x2+y2=1x=cosθ,y=sinθ (π2θπ2)x^2+y^2=1\Longleftrightarrow x=\cos\theta,y=\sin\theta\ (-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2})

になりますね。


この問題も同様で、θ\thetaの定義域がないので楕円全体を表します。そのため答えに定義域は必要ないです。

返信(5件)

返信遅れて申し訳ございません。

理解しました。その考えでゆくと、写真の2番の問題はどう説明できますか?

2番は円でないので、xxの定義域が必要になります。

θ\thetaがどんな値であろうと、例えばx=5x=5はとりませんよね?


3番はの取りうる値とxxの定義域が対応しているため不要(特殊な事例)で、通常は対応する定義域を求める必要があります。


ただし、3番も定義域を書いたから間違い、というわけではありません。

基本的には全部定義域を出す癖をつけるようにして、不要な場合を覚えていくといいかと思います。

補足

脱字補足

3行目:3番はθ\thetaの取りうる…

全部の問題で定義域の確認をした方がいいのは理解できましたありがとうございます。わからないことがあって、「θ\thetaのとりうる値とxの定義域が対応している」とは、どういうことでしょうか。それと、

θ\thetaがどんな値であろうとx=5にはならない」

これは(3)でもx=6にはならない。と同じことが言える気がするのですがどういう勘違いを私はしているか教えていただきたいですお願いしますよう🤲


任意のθ\thetaなので、与えられた式において1x5-1\leq x\leq 5ですね。

また、求めた楕円も定義域は1x5-1\leq x\leq 5です。

よって定義式が一致するので「θ\thetaの取りうる値と~」と言えます。


が、(2)は求められるものが曲線で、この曲線単体で考えたとき範囲は実数全体を取ります。

しかし、与えられた式において1x1-1\leq x\leq 1なので範囲が一致しません。

そのため定義域を求める必要があります。


伝わりますでしょうか?

定義域が特に指定されていない関数の場合でも、xxの取りうる範囲というのはあります。

例えば

f(x)=xxf(x)=1xx,x0f(x)=logxx>0f(x)=1x21x1\begin{align*}f(x)=x&\rightarrow -\infty\leq x\leq\infty\\f(x)=\dfrac{1}{x}&\rightarrow -\infty\leq x\leq\infty,x\neq0\\f(x)=\log{x}&\rightarrow x\gt0\\f(x)=\sqrt{1-x^2}&\rightarrow -1\leq x\leq 1\end{align*}

などですね。


求めた曲線の自明な範囲と、提示された式での範囲が一致するかどうか。

そこの違いです。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

ありがとうございます.理解できました.

そのほかの回答(2件)

いやsin\sincos\cosの値域は既知とされているからでしょう

個人的な意見としては(3)であろうとも、xとθの関係式を作った時点でxの定義域は確認すべきだと思います。(yについても同様)

(3)で定義域の確認が行われていない理由はxとyだけの式を導く過程で同値な変形しか行われていないからです。

言い換えれば(3)についてのみ導いた式だけから逆にxとθの関係式を作れますが、それ以外ではx,yの定義域が無ければ元の式を復元できないという事です。

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