3で定義域の確認が不要なのは、式変形後の $sin^2\theta + cos^2\theta$ に $$ −1≦cosθ≦1, $$ $$ −1≦sinθ≦1 $$ が隠れて含まれている。からですか。補足: 訂正:$sin^2\theta + cos^2\theta =1$に

3で定義域の確認が不要なのは、式変形後の sin^2\theta + cos^2\theta に $$ −1≦cos

回答 3件

ベストアンサー

DoubleExpYui 2022/12/4

問題に $\theta$ の定義域がなく、求める曲線が楕円だからです。

例えば単位円 $x^2+y^2=1$ を考えたとき、

$x^2+y^2=1\Longleftrightarrow x=\cos\theta,y=\sin\theta$

ですよね。

これが半円 $x^2+y^2=1\ (x\geq0)$ ならば

$x^2+y^2=1\Longleftrightarrow x=\cos\theta,y=\sin\theta\ (-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2})$

になりますね。

この問題も同様で、 $\theta$ の定義域がないので楕円全体を表します。そのため答えに定義域は必要ないです。

Rarara 2022/12/6

返信遅れて申し訳ございません。
理解しました。その考えでゆくと、写真の2番の問題はどう説明できますか？
DoubleExpYui 2022/12/7

2番は円でないので、 $x$ の定義域が必要になります。
$\theta$ がどんな値であろうと、例えば $x=5$ はとりませんよね？

3番は $\thata$ の取りうる値と $x$ の定義域が対応しているため不要(特殊な事例)で、通常は対応する定義域を求める必要があります。

ただし、3番も定義域を書いたから間違い、というわけではありません。
基本的には全部定義域を出す癖をつけるようにして、不要な場合を覚えていくといいかと思います。

補足
脱字補足
3行目:3番は $\theta$ の取りうる…
Rarara 2022/12/7

全部の問題で定義域の確認をした方がいいのは理解できましたありがとうございます。わからないことがあって、「 $\theta$ のとりうる値とxの定義域が対応している」とは、どういうことでしょうか。それと、
「 $\theta$ がどんな値であろうとx=5にはならない」
これは(3)でもx=6にはならない。と同じことが言える気がするのですがどういう勘違いを私はしているか教えていただきたいですお願いしますよう🤲
DoubleExpYui 2022/12/9

任意の $\theta$ なので、与えられた式において $-1\leq x\leq 5$ ですね。
また、求めた楕円も定義域は $-1\leq x\leq 5$ です。
よって定義式が一致するので「 $\theta$ の取りうる値と～」と言えます。

が、(2)は求められるものが曲線で、この曲線単体で考えたとき範囲は実数全体を取ります。
しかし、与えられた式において $-1\leq x\leq 1$ なので範囲が一致しません。
そのため定義域を求める必要があります。

伝わりますでしょうか？
DoubleExpYui 2022/12/9

定義域が特に指定されていない関数の場合でも、 $x$ の取りうる範囲というのはあります。
例えば
$\begin{align*}f(x)=x&\rightarrow -\infty\leq x\leq\infty\\f(x)=\dfrac{1}{x}&\rightarrow -\infty\leq x\leq\infty,x\neq0\\f(x)=\log{x}&\rightarrow x\gt0\\f(x)=\sqrt{1-x^2}&\rightarrow -1\leq x\leq 1\end{align*}$
などですね。

求めた曲線の自明な範囲と、提示された式での範囲が一致するかどうか。
そこの違いです。
Rarara 2022/12/10

お礼

ありがとうございます.理解できました.