鉄緑会様によれば、左写真のような記述は間違っているみたいなのですが、右写真(河合塾の参考書やさしい理系数学)とは違うのですか？

右の写真の河合塾の方は間違っていると思いますか。

河合のほうはあってると思います。

一応左の解答で間違っているところ上げときますね。

問題1

1.ベクトルにおけるコーシー・シュワルツの不等式において、等号成立条件は「2つのベクトルが平行」、つまり$x=y$である。

2.そもそも計算結果がおかしい。$(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$なら$k=\dfrac{1}{2}$で最大値ではなく最小値

問題2

1.左辺=$-\sin c\leq k$から$\sin c\geq -k$である。$-1\leq\sin c\leq 1$から$k$の「最大値」が1

とりあえずこの辺。

この本には、この問題でそもそもコーシーシュワルツの不等式を使うことが不適切だ。と述べていますが、この本の

「コーシーシュワルツの不等式は「成立する」ことを保証するだけで、$\red{それ以外}$では成立しないことを保証するものではない」とありますが、赤文字の部分の意味がわかりません。

それ以外とは何以外で何のことを指しているのでしょう。

質問が多くてすみません🙇‍♂️

上の回答ミスがあったので修正しときますね。

コーシーシュワルツではこの問題を適用するのに条件が足りない、ということではないかと。

例えば$(x,y),(1,1)$に対してコーシーシュワルツ使うと$x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}(x+y)^2$ですが、$k=0$なら当然成り立つし、$k=1$でも$xy\leq0$なら成り立ちます。

試してないけど、$k=3$でも出来るんじゃないだろうか。

問題が間違っているということですか？

でも確かに全ての実数x,yで成り立つような最大のkは$\dfrac{1}{2}$な気がします。

結局条件が足りないからコーシーシュワルツは適用できない、ってなりそうですね。