京大の確率が全然解けません。nがらみの問題がほとんどなのですが、どういうふうに着手すれば良いのかもわからないですし、nが3とか4とか5とかで実験してみるんですけど、それでもわからないんです。どうしたらよいでしょうか。確率のできる人はどのように考えて答えに行き着くのでしょう。

とりあえず問題の操作がどのようなものかを数式に直すことを考えたらいいのでは。

初期位置を$x$,表が出たときの位置をf$(x)$、裏が出たときの位置を$g(x)$とする。

表が出たとき点0に関して対称の点より、

$$x+f(x)=0\longrightarrow f(x)=-x$$

裏が出たとき点1に関して対照より、

$$x+g(x)=2\longrightarrow g(x)=2-x$$

よって、

$$\begin{cases}f\circ f(x)=f(-x)=x\ (\text{表・表})\\g\circ f(x)=g(-x)=x+2\ (\text{表・裏})\\f\circ g(x)=f(2-x)=x-2\ (\text{裏・表})\\g\circ g(x)=g(2-x)=x\ (\text{裏・裏})\end{cases}$$

である。

このことから、

1.(表・表)もしくは(裏・裏)のとき元に戻る。

2.(表・裏)のとき正の方向に2動く。

3.(裏・表)のとき負の方向に2動く。

ことが分かる。

(1)上記の変化の仕方から、(表・表)もしくは(裏・裏)のとき元の位置に戻るので、求める確率は

$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$$

(2)初期位置が０であるので、硬貨を2回投げる操作を1セットとすれば、上記の変化の仕方から「(表・裏)が$(ｎ-1)$回、(表・表)もしくは(裏・裏)が1回」のとき、座標$2ｎ-2$の位置となる。

(表・裏)が$(ｎ-1)$回かつ(表・表)が1回となる場合の数は$n$通り、

(表・裏)が$(ｎ-1)$回かつ(裏・裏)が1回となる場合の数は$n$通りなので、

求める確率は

$$\dfrac{n+n}{2^{2n}}=\dfrac{2n}{2^{2n}}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n-1}$$

である。