cos15°の求め方なんですが、

すみません。前回の回答は不足があったのでいったん削除しました。

まず、この作図の仕方から説明しますね。

$\angle CDB=60^\circ,\angle CBD=90^\circ$である直角三角形$BCD$を考えます。このとき、半直線$BD$上に$DC=DA$となる点$A$を取ると、$\angle CAD=15^\circ$となる直角三角形$ABC$を作ることが出来ます。

ここから$\tan15^\circ=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$が得られるわけです。

それでは疑問点について説明します。

$\angle BAC=15^\circ,\angle BDC=30^\circ$から円周角と中心角の関係では、と考えたかと思うのですが、その場合、点$D$は円の中心ということになります。そこから$BD=AD=\sqrt{3}$ではないか、ということですね。

さて、それでは点$D$が円の中心で、$\angle BAC=15^\circ,BD=AD=\sqrt{3}$の場合を考えてみましょう。

辺$AB$が直径となるので、$\triangle ABC$が円に内接することを考えると、$\angle ACB=90^\circ$となります。

よって$\tan 15^\circ=\dfrac{BC}{AC}$となります。

ここで、$\triangle ABC$について$\angle ABC$を考えてみると、$\angle ABC=75^\circ$となるので、最初の直角三角形$BCD$を維持できなくなることが分かります。

つまり、最初の点$C$と円に内接する$\triangle ABC$では点$C$の位置がずれてしまう、ということになります。

よって、この考え方では辺$BC$の長さも求め直す必要が出てきてしまい、うまく$\tan15^\circ$が求められない、となってしまうのです。

(もちろん計算を繰り返せば出来るのですが、その場合この手順にこだわる必要はないわけです。他の手順の方が簡単に出せるので。)

以上です。この説明で分からないところがあればまた聞いてください。