赤玉１個、黄玉２個、緑玉３個、青玉４個が入った袋から３つを一度に取り出すとき、玉の色がすべて異なる確率を求めよ。

2通りの解法があります。

1.問題通りに考える方法。

2.「全ての色が異なる場合」の余事象「どれかの色が2個以上である場合」を利用する方法。

1.の解法。玉の引き方は「赤・黄・緑」、「赤・黄・青」、「赤・緑・青」、「黄・緑・青」の4パターンです。

引いた色が赤・黄・緑の場合は$_1C_1\times _2C_1 \times _3C_1=6$通りです。同様に

赤・黄・青は$_1C_1\times _2C_1 \times _4C_1=8$通り、

赤・緑・青は$_1C_1\times _3C_1 \times _4C_1=12$

黄・緑・青は$_2C_1\times _3C_1 \times _4C_1=24$通りです。

10個から3つ引くのは$_{10}C_3=120$通りなので、求める確率は

$$\frac{6+8+12+24}{120}=\frac{5}{12}$$です。

2.の解法。

A.赤玉は1つしかないので、この場合は必要ありません。

B.黄玉が2個の場合。黄玉は2個しかないので、残りの一つを赤、緑、青の8個のうちから一つ引かなければいけません。

よって、$_2C_2\times _8C_1=8$通り。

C.緑玉が2個以上の場合。「緑2個と他の色から1つ」「緑3個」の2パターンがあります。

緑2個と他の色から1つ$_3C_2\times _7C_1=21$通り

緑3個$_3C_3=1$通り

よって$21+1=22$通り。

D.青玉が2個以上の場合。「青2個と他の色から1つ」「青3個」の2パターンがあります。

青2個と他の色から1つ$_4C_2\times _6C_1=36$通り

青3個$_4C_3=4$通り

よって$36+4=40$通り。

A～Dより、どれかの色が2個以上である場合は$8+22+40=70$通りなので、これを全体の120通りから引くと「全ての色が異なる場合」がだせるので、求める確率は$$\frac{120-70}{120}=\frac{5}{12}$$です。

問題によってはどちらか片方が楽に出せるパターンだったりするので、どちらのやり方でも出来るようになりましょう。