解決済み

数学の質問です。

共分散に就いてです。

分散は

sXx2=x2ˉxˉ2\ce{s_{x}}^2=\bar{x^2}-\bar{x}^2

で求めることが出来ますよね?

そこで共分散も似た式で求めることが出来るのではないのかと考えました。

sXxy=xyxˉyˉ\ce{s_{xy}}=\overline{x・y}-\bar{x}・\bar{y}

​上の式は正しいでしょうか?また、合っているのなら、

1n{(x1xˉ)2++(xnxˉ)2}\dfrac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^2+ \cdots+(x_{n}-\bar{x})^2\}

x2ˉxˉ2\bar{x^2}-\bar{x}^2

に変形する時と同じ様に

1n{(x1xˉ)(y1yˉ)++(xnxˉ)(ynyˉ)}\dfrac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})(y_{1}-\bar{y})+ \cdots+(x_{n}-\bar{x})(y_{n}-\bar{y})\}

sXxy=xyxˉyˉ\ce{s_{xy}}=\overline{x・y}-\bar{x}・\bar{y}

に変形する時の途中式を書いて頂きたいです。

(まだ数IAの途中なので分かる様に書いて頂けるとありがたいです。)


回答宜しく願います。

補足

もしかすると、式の書き方が間違っているかもしれないので、言葉で式を書いておきます。

分散

(xのデータの分散)=(x2のデータの平均値)(xのデータの平均値)2(xのデータの分散)=(x^2のデータの平均値)-(xのデータの平均値)^2

に対して

共分散

(xyのデータの共分散)=(xyのデータの平均値)(xのデータの平均値・yのデータの平均値)(xとyのデータの共分散)=(x・yのデータの平均値)-(xのデータの平均値・yのデータの平均値)

が合っているかどうかと言う質問です。

本文にも書きましたが証明(式変形?途中過程?)も書いて頂けるとありがたいです。

ベストアンサー

ベストアンサー

こちらを参考にしてください。

https://manabitimes.jp/math/853

返信(3件)

私の式が恐らく正しいことは分かりましたが、まだ、数Iの途中なので、証明が良く分からないです。数Iの知識でも分かる様にに説明を御願い出来ますでしょうか?

分散の公式の証明は様々なウェブサイトで確認できます。

例えば、以下のサイトでは「分散の公式の証明」という見出しの下に証明が載っています。

https://math-travel.com/variance/


共分散の場合は、分散の「Xの偏差の二乗」の部分を「Xの偏差 × Yの偏差」に置き換えるだけなので、証明の方法は一緒です。


シグマ(総和?)はまだ分からないのですが、なんとかサイトも参考にして分散の変形の時と同じ様に共分散も変形してどうにか証明できました。ありがとうございました!

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