中3です。集合と命題の解き方が分かりませんり

全体集合 $U$ に対して、条件 $a,b$ を満たすもの全体の集合をそれぞれ $A,B$ とします。

$a \Rightarrow b$ が成り立つとき、集合 $A$ と集合 $B$ がどのような関係になっているか考えてみましょう。

$a \Rightarrow b$ は「$x \in A$ ならば $x \in B$」ということなので、$A \subset B$ と同値です。

今回の問題だと、

$$\overline{p} \Rightarrow q \iff \overline{P} \subset Q$$

となります。

最初に対偶をとることで、

$$\begin{aligned}\overline{p} \Rightarrow q &\iff \overline{q} \Rightarrow p \\&\iff \overline{Q} \subset P\end{aligned}$$

が成り立ちます。ド・モルガンの法則を考えても良いでしょう。

また、$\overline{Q}$ が $P$ の中に入るということなので、$P \cup \overline{Q} =P$ が成り立ちますし、$P \cup Q = U$ も成り立ちます。

$\overline{Q}$ が $P$ の中に入るということは、集合 $P$ と集合 $Q$ ですべてを覆うことができるというイメージで良いでしょう。

ここからは余談です。

「$a \Rightarrow b$」の同値な言い換えとして、「$\overline{a}$ または $b$」があります。

前提となる $a$ を満たしていない、または $b$ を満たしている、と考えれば理解できるでしょうか。

この事実は意外と高校生に知られていませんが、大学受験で役に立つかもしれません。

これを使えば、今回の問題の⑧は一瞬でできて、

$$\begin{aligned}\overline{p} \Rightarrow q &\iff p \text{ または } q \text{ が成立}\\&\iff P \cup Q = U\end{aligned}$$

となります。