【解答・解説】東科大物理2025 第3問 -熱力学-

以下の問題文および図は，2025年度東京科学大学入試問題物理第2問から引用しています(一部見やすさ等のためライターが修正・変更した部分があります)。

理想気体・実在気体に関する問題です。問題文をよく読み，変化の過程で保たれている物理量が何かを正確に把握することが大切です。

[A]

(a)

求めるシリンダー内の圧力を $p_a$ とします。シリンダーについて，力のつり合い (力のつりあい・作用反作用との違い) より

$$p_0 S + mg = p_a S$$

$$\therefore p_a = p_0 + \dfrac{mg}{S}$$

と求められます。

また，このときの理想気体について，物質量を $n$ とすると，状態方程式より

$$p_a (S x_1) = n R T_1$$

が成り立っていることに注意します。

(b)

シリンダー内の単原子理想気体の圧縮は，断熱変化 (断熱変化におけるポアソンの式の導出) になっています。したがって，ポアソンの公式より，$p V^{5/3} =$ (一定) が成り立ちます。理想気体の状態方程式 (ボイル・シャルルの法則と状態方程式) と合わせると $T V^{2/3} =$ (一定) が成り立ちます。

これより，$x = \dfrac{x_1}{8}$ での気体の温度を $T_b$ とすると

$$T_b \left( S \dfrac{x_1}{8} \right)^{\frac{2}{3}} = T_1 (S x_1)^{\frac{2}{3}}$$

$$\begin{aligned} T_b &= 8^{\frac{2}{3}} T_1 \\ &= 4 T_1 \end{aligned}$$

と求められます。

©

シリンダー内の気体がされた仕事を $\Delta W_{in}$ とします。この変化が断熱変化である ($Q = 0$) ことに注意して，熱力学第一法則 (熱力学第一法則｜仕事と内部エネルギーの関係)より

$$\begin{aligned} \Delta W_{in} &= \Delta U \\ &= \dfrac{3}{2} n R (T_b - T_1) \\ &= \dfrac{9}{2} n R T_1 \\ &= \dfrac{9}{2} p_a S x_1 \\ &= \dfrac{9}{2} (p_0 S + mg) x_1 \end{aligned}$$

と求められます。ここに，単原子理想気体の内部エネルギー $U (T)$ は $U = \dfrac{3}{2} n R T$ と表されることを用いました (気体の内部エネルギーの意味と公式，求め方)。

[B]

(d)

上図で表される状態を状態1，状態 d とします。状態1のシリンダー A，状態 d のシリンダー A・B 内の気体の物質量をそれぞれ $n_A^1, n_A^d, n_B^d$ とすると，理想気体の状態方程式より

$$\begin{cases} p_1 (S x_1) = n_A^1 R T_1 \qquad (d-1)\\ p_1 (S x_2) = n_A^d R T_1 \qquad (d-2)\\ p_0 (S y_2) = n_B^d R T_2 (x_2) \qquad (d-3) \end{cases}$$

また，この変化で気体の総量は保存されているので

$$n_A^1 = n_A^d + n_B^d \qquad (d-4)$$

(d-1)・(d-2)・(d-3) 式を (d-4) 式に代入して

$$\dfrac{p_1 S}{R T_1} x_1 = \dfrac{p_1 S}{R T_1} x_2 + \dfrac{p_0 S}{R T_2 (x_2)} y_2$$

$$\therefore y_2 = \dfrac{p_1}{p_0} \dfrac{T_2 (x_2)}{T_1} (x_1 - x_2)$$

のように求められます。

(e)

問題文より，状態1から状態 d への変化中，ピストン A・B それぞれに加わる力は常につり合っていることがわかります。

したがって，シリンダー内の気体がされた仕事 $W_A (x_2)$ は

$$W_A (x_2) = p_1 [S (x_1 - x_2) ] = p_1 S (x_1 - x_2)$$

また，シリンダー内の気体がした仕事 $W_B (x_2)$ は

$$W_B (x_2) = p_0 S y_2$$

と表すことができます。A については「された仕事」，B については「した仕事」を求めることに注意してください。

(f)

シリンダー A・B に閉じ込められた気体全体に対して熱力学第一法則を考えます。

$W_A (x_2)$ は「気体がされた仕事」，$W_b (x_2)$ は「気体がした仕事」であることに注意すると，上図のように

$$\Delta U = U(x_2) - U (x_1) = W_A (x_2) - W_b (x_2)$$

と表されます ((ア)：$W_A (x_2) - W_b (x_2)$)。

$U(x_2), U(x_1)$ を内部エネルギーの公式を用いて表します。

$$\begin{aligned} U(x_2) &= \dfrac{3}{2} n_A^d R T_1 + \dfrac{3}{2} n_B^d R T_2 (x_2) \\ &= \dfrac{3}{2} (p_1 S x_2 + p_0 S y_2) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} U(x_1) &= \dfrac{3}{2} n_A^d R T_1 \\ &= \dfrac{3}{2} p_1 S x_1 \end{aligned}$$

これらを熱力学第一法則の式に代入して

$$\dfrac{3}{2} (p_1 S x_2 + p_0 S y_2) - \dfrac{3}{2} p_1 S x_1 = p_1 S (x_1 - x_2) - p_0 S y_2$$

$y_2$ について整理して

$$y_2 = \dfrac{p_1}{p_0} (x_1 - x_2)$$

(d) の結果と比較して，シリンダー B 内の気体の温度は

$$T_2 (x_2) = T_1$$

と求められます ((イ)：$T_1$)。

(g)

ピストン A の位置が $x = 0$ となっている状態2への過程を考えます。

このときのピストン B の位置を $y (0)$ とします。状態1から状態2への変化で，各ピストンに加わる力は一定なので，$W_A (0), W_B (0)$ はそれぞれ

$$W_A (0) = p_1 S x_1, W_B (0) = p_0 S y (0)$$

一方，$x = x_1, 0$ のときの気体全体の内部エネルギー $U(x_1), U(0)$ は，両状態とも気体がシリンダーのどちらか一方に存在していることより

$$U (x_1) = \dfrac{3}{2} n_A^1 R T_1, U (0) = \dfrac{3}{2} n_A^1 R T_0$$

したがって，(f) で求めた熱力学第一法則の式より

$$U (0) - U (x_1) = W_A (0) - W_B (0)$$

$$\therefore U (x_1) + W_A (0) = U (0) + W_B (0)$$

$S x_1$ は状態1での気体の体積，$S y (0)$ は状態2での気体の体積であることより，この過程の前後で

$$H = U + p V$$

が変化していないことがわかります ((ウ)：$p V$)。

単原子理想気体のとき，$H$ は気体の物質量 $n$ を用いて表すことができます。まず，単原子理想気体の内部エネルギーの公式より

$$U = \dfrac{3}{2} n R T$$

次に，理想気体の状態方程式より

$$p V = n R T$$

したがって

$$H = \dfrac{5}{2} n R T = n \times \dfrac{5}{2} R T$$

となります ((エ)：$\dfrac{5}{2} R T$)。

[C]

(h)

気体が実在気体の場合は，状態1から状態2への過程の前後で

$$H' = \dfrac{5}{2} n R T + an^2 \dfrac{T_1 - b}{V}$$

が一定に保たれることを利用します。気体の物質量を改めて $n$ とおき，状態1・2でのこの量をそれぞれ $H_1', H_2'$ とすると

$$H_1' = \dfrac{5}{2} n R T_1 + an^2 \dfrac{T_1 - b}{V_1}$$

$$H_2' = \dfrac{5}{2} n R T_2' + an^2 \dfrac{T_2' - b}{V_2}$$

と表すことができます。

(f)(イ) の結果より $T_1 = T_2 (0)$ であることに注意しながら式変形していきます。$H_1' = H_2'$ より

$$\dfrac{5}{2} n R T_1 + an^2 \dfrac{T_1 - b}{V_1} = \dfrac{5}{2} n R T_2' + an^2 \dfrac{T_2' - b}{V_2}$$

$$\therefore \dfrac{5}{2} V_1 V_2 R T_2' + an V_1 (T_2' - b) = \dfrac{5}{2} V_1 V_2 R T_1 + an V_2 (T_1 - b)$$

$$\therefore V_1 T_2' \left( \dfrac{5}{2} V_2 R + an \right) = V_2 T_1 \left( \dfrac{5}{2} V_1 R + an \right) + anb (V_1 - V_2)$$

$$\therefore T_2' \left( \dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2} \right) = T_1 \left( \dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_1} \right) + anb \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)$$

$T_1$ が係数 1 で出てくるように意識しながら式変形します。

$$\begin{aligned} T_2' &= \dfrac{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_1}}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} T_1 + \dfrac{anb \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} \\ &= \dfrac{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2} + \left( \dfrac{an}{V_1} - \dfrac{an}{V_2} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} T_1 + \dfrac{anb \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} \\ &= T_1 + \dfrac{an (b - T_1) \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} = T_2 (0) + \dfrac{an (b - T_1) \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}} \end{aligned}$$

したがって，(オ)：$\dfrac{an (b - T_1) \left( \dfrac{1}{V_2} - \dfrac{1}{V_1} \right)}{\dfrac{5}{2} R + \dfrac{an}{V_2}}$ となります。