【解答・解説】東科大物理2025 第2問 -電磁気-

以下の問題文および図は，2025年度東京科学大学入試問題物理第2問から引用しています(一部見やすさ等のためライターが修正・変更した部分があります)。

コンデンサーおよび電荷を帯びた導体の運動についての問題です。保存則を適切に用いるのがポイントです。

[A]

(a)

導体円板が下の極板と接触しているとき，上の極板および下の極板・導体円板によるコンデンサーの静電容量を $C$ とすると，コンデンサーの公式 (コンデンサーの理論) より

$$C = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d}$$

となります。

導体円板の上面に生じる電荷を $Q$ とします。コンデンサーの性質より，上の極板に生じる電荷は $-Q$ となります。

キルヒホッフ第2法則 (キルヒホッフの法則の解説と例題) より，導体円板の上面に生じる電荷は

$$V + \dfrac{Q}{C} = 0$$

$$\begin{aligned} \therefore Q &= - CV \\ &= - \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V \end{aligned}$$

と求められます。

(b) コンデンサーの公式より，上の極板と導体円板で構成されるコンデンサーが蓄える静電エネルギー $U$ は

$$\begin{aligned} U &= \dfrac{1}{2} |Q| V \\ &= \dfrac{1}{2} \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V^2 \end{aligned}$$

と求められます。

[B]

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導体極板が距離 $y$ の位置にあるとき，導体円板の上側と下側に生じる電荷をそれぞれ $q_u, q_d$ とおきます。

まず，導体極板が浮上を始めてから，導体では電荷量保存則 (電荷と電気量保存の法則) が成り立ちます。すなわち

$$q_u + q_d = Q \tag{1}$$

上の極板と導体極板の上側および導体極板の下側と下の極板からなるコンデンサーの静電容量をそれぞれ $C_u, C_d$ とすると

$$\begin{aligned} C_u = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d-y}, \quad C_d = \varepsilon_0 \dfrac{S}{y} \end{aligned}$$

上図の回路においてキルヒホッフ第2法則より

$$V + \dfrac{q_u}{C_u} - \dfrac{q_d}{C_d} = 0$$

$$\therefore q_u (d - y) - q_d y = - \varepsilon_0 S V \tag{2}$$

(1)・(2)式から $q_d$ を消去すると

$$q_u (d -y) - (Q - q_u) y = - \varepsilon_0 S V$$

整理して

$$q_u = - \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \left( 1 + \dfrac{y}{d} \right) V \tag{3}$$

と求められます。

また，(1)・(3)式より

$$\begin{aligned} q_d &= Q - q_u \\ &= \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \dfrac{y}{d} V \tag{4} \end{aligned}$$

と求められます。

(d)

上の極板と導体円板の上側および，導体円板の下側と下の極板から構成されるコンデンサーが蓄えている静電エネルギーを，それぞれ $U_u (y), U_d (y)$ とします。

このとき，上下の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた全静電エネルギー $U(y)$ は

$$\begin{aligned} U(y) &= U_u (y) + U_d (y) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{|q_u|^2}{C_u} + \dfrac{|q_d|^2}{C_d} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1}{\varepsilon_0} \dfrac{d-y}{S} \left \{ \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \left( 1 + \dfrac{y}{d} \right)V \right \}^2 + \dfrac{1}{\varepsilon_0} \dfrac{y}{S} \left( \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \dfrac{y}{d} V \right)^2 \right] \\ &= \quad ... \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ 1 + \dfrac{y}{d} - \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V^2 \end{aligned}$$

と求められます。

これは，$y = 0$ のとき (つまり (b) のとき) を含んでいます。

(e)

このコンデンサーの系は，コンデンサーが蓄える全静電エネルギー $U (y)$，導体円板の運動エネルギー $K(y)$ および重力による位置エネルギー $U_g (y)$ からなる力学的エネルギー $E (y)$ を持ちます。この力学的エネルギーは導体円板が距離 $0$ から $y$ まで変化すると，その間に電源が電荷を運んだ仕事 $W_V (y)$ だけ変化します。すなわち (熱力学第一法則｜仕事と内部エネルギーの関係)

$$E(y) - E(0) = W_V (y)$$

$$\therefore (U(y) - U(0)) + (K(y) - K(0)) + (U_g (y) - U_g (0)) = W_V (y) \tag{5}$$

という関係が成り立ちます。

$y = 0$ は [A] で考察していた状態であり，このとき導体極板が静止していることから左辺が計算できます。

$$U(y) - U(0) = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{y}{d} - \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V^2 \tag{6}$$

$$K(y) - K(0) = \dfrac{1}{2} m v(y)^2 \tag{7}$$

$$U_g (y) - U_g(0) = mgy \tag{8}$$

また，導体極板が距離 $0$ から $y$ まで移動したときに電源を通った電荷は，$-q_u - (-Q) = Q - q_u = q_d$ であるので，

$$\begin{aligned} W_V (y) &= q_d V \\ &= \dfrac{y}{d} \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V^2 \tag{9} \end{aligned}$$

(6) 〜 (9) 式を (5) 式に代入して $v(y)$ について整理すると

$$\dfrac{1}{2} m v(y)^2 = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{y}{d} + \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} V^2 - mgy$$

$$\therefore v(y) = \sqrt{\left[ \dfrac{y}{d} + \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \dfrac{\varepsilon_0 S V^2}{md} - 2gy} \tag{10}$$

として求められます。

$V$ に関する補足

導体円板が浮上を始めるような $V$ の条件をここから求めることが可能です。

導体円板が浮上を始めるためには，$0 \leq y \leq d$ で $v(y)$ が正または $0$ の実数解を持つこと，つまり (10) 式右辺のルートの中身がこの範囲で常に $0$ 以上となることが必要です。2次方程式の解の条件については 実数解の意味・二次方程式の実数解の個数 などをご覧ください。

$\dfrac{y}{d} = t \, (0 \leq t \leq 1)$ とおき，(10) 式のルートの中身を $f(t)$ とおくと

$$\begin{aligned} f(t) &= \left[ \dfrac{y}{d} + \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \dfrac{\varepsilon_0 S V^2}{md} - 2gd \dfrac{y}{d} \\ &= \dfrac{\varepsilon_0 S V^2}{md} t (1 + t) - 2gd t \end{aligned}$$

簡単のため $a = \dfrac{\varepsilon_0 S V^2}{md}, b = 2gd$ とおきます。$a > 0, b > 0$ であり，

$$f(t) = at \left[ t - \left( \dfrac{b}{a} - 1 \right) \right]$$

$a > 0, f(0) = 0$ より，$0 \leq t \leq 1$ で常に $f(t) \geq 0$ が成り立つためには，

$$\dfrac{b}{a} - 1 \leq 0$$

が成り立てばよいことがわかります。$V$ について整理すると

$$V \geq \sqrt{2 \dfrac{mg}{\varepsilon_0 S}} d$$

となります。

この関係が成り立っているとき，$0 \leq t \leq 1$ で $f(y)$ (あるいは $v(y)$) は単調に増加します。

(f)

電流計を流れる電流 $I$ は，時間 $\Delta t$ に電源を通過する電荷量が $\Delta Q$ だったとき

$$I := \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$$

として求められます (電場・磁場・電荷密度・電流密度｜電磁気学における基本的な物理量)。

$y$ の変化で記述できるように変形すると

$$\begin{aligned} I &= \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \\ &= \dfrac{\Delta Q}{\Delta y} \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \\ &= \dfrac{\Delta Q}{\Delta y} v(y) \\ &= \dfrac{q_d}{y} v (y) \\ &= \dfrac{\varepsilon_0 SV}{d^2} \sqrt{\left[ \dfrac{y}{d} + \left( \dfrac{y}{d} \right)^2 \right] \dfrac{\varepsilon_0 S V^2}{md} - 2gy} \end{aligned}$$

と，$y$ の関数として求めることができます。

(g)

まず，$0 < t < t_1$ での運動について考えます。設問 (e) での考察により，$v$ は $y$ が大きいほど大きくなります。$v$ は $y-t$ グラフの微分係数であることに注意すると，$y$ が $d$ に近づくほど $y-t$ グラフでの関数の微分係数が大きくなるということになります。したがって答えは 1.，2.，3.，8.，9.，10.，15. のいずれかとなります。

次に，$y = d$ で導体円板は上の極板と完全非弾性衝突 (弾性衝突(完全弾性衝突)の定義と性質)をします。このとき導体円板の速度は急激に $0$ に変化するので，$y = d$ で $y-t$ グラフの関数は微分不可能になり，衝突後のグラフの微分係数は $0$ になります。上記のグラフのうちこの条件を満たすのは 1.，2.，7.，8. となります。

さらに，上昇しきるのにかかる時間 $t_1$ と下降しきるのにかかる時間 $t_2$ の大小について考えます。導体円板は上下の極板からの電場による力と重力による力を受けて運動します。上昇のときは運動の向きと重力の向きが逆向きですが，下降のときは運動の向きと重力の向きが同じ向きであることを考えると，下降にかかる時間の方が上昇のときにかかる時間より小さい，すなわち $t_1 > t_2$ と考えられます。上記のグラフのうちこの条件を満たすのは 1.，7. となります。

下降についてさらに考えてみます。初速度は $0$ になっているので，この運動は，$y$ 軸を反転させてみると，上昇時と同じ運動を行います。したがって，下降のときのグラフは，上昇時のグラフを上下反転させたようになり，上に凸になると考えられます。この条件を満たすのは 1. のみとなり，これが求めるグラフになります。