【解答・解説】京大物理2025 第2問 -電磁気-

以下の問題は，2025年度京都大学入試問題物理第2問から引用しています(一部修正しています)。

なお，本記事中の図は全て，2025年度京都大学入試問題物理第2問を参考に，ライターが作成したものです(一部見やすさ等のためライターが変更した部分があります)。

近似を用いながらソレノイドに働く誘導起電力について考察する問題です。

以下では問題文に倣い，ソレノイドのことをコイルと呼びます。

(1)

コイル中心にはたらく磁束密度は，公式 (電流と磁束密度の関係) より

$$B = \mu \dfrac{N}{d} I \tag{イ}$$

と求められます。

微小時間 $\Delta t$ の間に電流が $I$ から $I + \Delta I$ にゆっくり変化したとき，磁束密度の変化を $\Delta B$ とすると

$$B + \Delta B = \mu \dfrac{N}{d} (I + \Delta I)$$

$$\therefore \Delta B = \mu \dfrac{N}{d} \Delta I$$

いま，円筒内部には一様な磁束密度が働いていることにより，微小時間 $\Delta t$ でのコイル内の磁束の変化 $\Delta \Phi$ は

$$\Phi + \Delta \Phi = (B + \Delta B) \pi r^2$$

$$\begin{aligned} \therefore \Delta \Phi &= \Delta B \pi r^2 \\ &= \pi \mu \dfrac{N}{d} r^2 \Delta I \end{aligned}$$

だけ変化します。

いま，$\Delta I$ が正の量とすると，コイル内の磁束は図1の水平右向きに変化するので，誘導起電力はコイル内の磁束を図1の水平左向きに増やす方向に働きます。右ねじの法則 (電流と磁束密度の関係) より，この起電力は電流を下流から上流に流す方向に働き，したがってこの誘導起電力は正となります。ファラデーの電磁誘導の法則 (電磁誘導とレンツの法則) より，誘導起電力は

$$V_{ind} = N \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \pi \mu \dfrac{N^2}{d} r^2 \times \dfrac{\Delta I}{\Delta t}$$

と求められます (ロ：$\pi \mu \dfrac{N^2}{d} r^2$)。

一方，コイルに流れている電流が時間変化するとき，コイルにはたらく誘導起電力 $V_{ind}$ は，自己インダクタンスを $L$ とすると (自己誘導と自己インダクタンス｜回路に生じる逆起電力の導出)，向きまで含めて

$$V_{ind} = L \dfrac{\Delta I}{\Delta t}$$

したがって，自己インダクタンス $L$ は

$$L = \pi \mu \dfrac{N^2}{d} r^2 \tag{ハ}$$

と表されます。

また，電流の変化がゆっくりであることから，微小時間 $\Delta t$ の間に外部電源がした仕事 $\Delta W$ は，電荷 $I \Delta t$ を 電圧 $V_{ind}$ だけ運ぶ仕事に等しく

$$\begin{aligned} \Delta W &= (I \Delta t) V_{ind} \\ &= \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I r^2 \times \Delta I \end{aligned}$$

と求められます (ニ：$\pi \mu \dfrac{N^2}{d} I r^2$)。

また，エネルギー保存則から，外部電源が行った仕事がコイルのエネルギーの変化 $\Delta U$ となるとして $\Delta W$ を求めることができます。

自己インダクタンス $L$ に電流 $I$ が流れているとき，コイルが蓄えるエネルギー $U$ は (コイルのエネルギーとエネルギー密度の解説)

$$U = \dfrac{1}{2} L I^2 = \dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r^2 \tag{ホ}$$

いま電流が　$I$ から $I + \Delta I$ に変化したときのエネルギーの変化を $\Delta U$ とすると，近似式 (1) より

$$\begin{aligned} U + \Delta U &= \dfrac{1}{2} L (I + \Delta I)^2 \\ & \fallingdotseq \dfrac{1}{2} L (I^2 + 2 I \Delta I) \\ \end{aligned}$$

$$\therefore \Delta U = L I \Delta I$$

(ハ) より

$$\Delta U = \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I r^2 \times \Delta I$$

となり，これはたしかに $\Delta W$ と一致しています。

(2)

膜は「円筒状」であることに注意します。

コイルの半径が微小時間 $\Delta t$ の間に $r$ から $r + v \Delta t$ へとゆっくり大きくなったとします。

このとき，コイル内の磁束密度は変化しませんが，磁束密度が貫く面積 $S$ は変化します。この変化を $\Delta S$ とすると，近似式 (1) より

$$\begin{aligned} S + \Delta S &= \pi (r + v \Delta t)^2 \\ & \fallingdotseq \pi (r^2 + 2 r v \Delta t) \\ \end{aligned}$$

$$\therefore \Delta S = 2 \pi r v \Delta t$$

これより磁束の変化 $\Delta \Phi$ は

$$\begin{aligned} \Delta \Phi &= B \Delta S \\ &= \mu \dfrac{N}{d} I \times 2 \pi r v \Delta t \\ &= 2 \pi \mu \dfrac{N}{d} I r v \times \Delta t \end{aligned}$$

となります (ヘ：$2 \pi \mu \dfrac{N}{d} I r v$)。

したがって，コイルにはたらく誘導起電力 $V_{ind}$ は，向きを含めて

$$\begin{aligned} V_{ind} &= N \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} \\ &= 2 \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I r v \end{aligned}$$

となります (ト：$2 \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I r v$)。

設問 (1) と同様に，外部電源がコイルに対して行う仕事 $\Delta W_V$ は

$$\begin{aligned} \Delta W_V &= (I \Delta t) V_{ind} \\ &= 2 \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v \times \Delta t \end{aligned}$$

と求められます (チ：$2 \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v$)。

一方，このときコイルが蓄えるエネルギーの変化を $\Delta U$ とすると，$U = \dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r^2$ より

$$\begin{aligned} U + \Delta U &= \dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 (r + v \Delta t)^2 \\ & \fallingdotseq \dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 (r^2 + 2 r v \Delta t) \end{aligned}$$

$$\therefore \Delta U = \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v \times \Delta t$$

と求められます (リ：$\pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v$)。

このエネルギー変化は，外部電源が行った仕事 $\Delta W_V$ と，膜内外の気体の圧力差が膜に対して行った仕事 $\Delta W_p$ の和に等しいとして，膜内外の気体の圧力差を求めます。

コイルの半径が $r$ のとき，コイルの体積 $V_c$ は

$$V_c = 2 \pi r d$$

なので，半径変化に対するコイルの体積の変化 $\Delta V_c$ は

$$\Delta V_c = 2 \pi v d \times \Delta t$$

となります (ヌ：$2 \pi v d$)。

いま，$\delta p$ の定義より，$\Delta W_p$ は

$$\begin{aligned} \Delta W_p &= - \delta p \Delta V_c \\ &= - 2 \pi \delta p r d v \times \Delta t \end{aligned}$$

と書けます (ル：$- 2 \pi \delta p r d v$)。

$\Delta U = \Delta W_V + \Delta W_p$ より

$$\pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v = 2 \pi \mu \dfrac{N^2}{d} I^2 r v - 2 \pi \delta p r d v$$

$$\therefore \delta p = \dfrac{1}{2} \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2$$

ここで，$B = \mu \dfrac{N}{d} I$ より $\dfrac{N}{d} I = \dfrac{B}{\mu}$ なので

$$\delta p = \dfrac{1}{2} \mu \left( \dfrac{B}{\mu} \right)^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{B^2}{\mu} \tag{ヲ}$$

と書けます。

膜には膜内外の気体がもたらす圧力差に加え，電流 $I$ が作り出す圧力 $p_I$ が働いています。$\delta p > 0$ より，膜外の気体の圧力のほうが膜内のそれより大きいので，膜に働く圧力のつりあいより，$p_I$ の方向はワ：① (コイルを膨らませる方向に働いている) となります。

(3)

今度は円筒の半径ではなく長さが変化します。外部電源がコイルに対して行う仕事を求めるために，誘導起電力を求めましょう。

まず，磁束の変化を考えます。コイル内の磁束密度 $B$ は

$$B = \mu \frac{N}{d} I$$

と表されていました。いま $d$ から $d + v \Delta t$ へと変化するときの磁束密度の変化 $\Delta B$ は

$$\begin{aligned} B + \Delta B &= \mu \dfrac{N}{d + v \Delta t} I \\ &= \mu N \left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{v \Delta t}{d^2} \right) I \\ \end{aligned}$$

$$\therefore \Delta B = - \mu \dfrac{N}{d^2} I v \Delta t$$

磁束が貫く面積 $S$ はこの時間変化で不変なので，生じる誘導起電力は，向きまで含めて

$$\begin{aligned} V_{ind} &= - N \left| \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| \\ &= - \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I r^2 v \end{aligned}$$

外部電源が行う仕事 $\Delta W_V$ は，この誘導起電力に逆らって電荷を運ぶであり

$$\Delta W_V = - (I \Delta t) V_{ind} = - \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v \times \Delta t$$

と求められます (カ：$- \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v$)。

問1

(2)と同様にして，膜内外の気体の圧力差 $\Delta W_p$ を求めましょう。やはり，エネルギー保存則

$$\Delta U = \Delta W_V + \Delta W_p$$

を使います。

$\Delta U$ について考えます。コイルの自己インダクタンス $L$ の変化 $\Delta L$ は

$$\begin{aligned} L + \Delta L &=\pi \mu \dfrac{N^2}{d + v \Delta t} r^2 \\ &= \pi \mu N^2 \left( \dfrac{1}{d^2} - \dfrac{v \Delta t}{d^2} \right) r^2 \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \Delta L &= - \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} r^2 v \Delta t \end{aligned}$$

したがって，コイルが蓄える内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は

$$\begin{aligned} \Delta U &= \dfrac{1}{2} \Delta L I^2 \\ &= - \dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v \Delta t \end{aligned}$$

続いて膜内外の圧力差による仕事 $\Delta W_p$ について考えます。円筒の長さ変化に対する円筒の体積変化 $\Delta V_c$ は

$$\Delta V_c = \pi r^2 v \Delta t$$

したがって，$\Delta W_p$ は

$$\Delta W_p = - \delta p \Delta V_c = - \pi \delta p r^2 v \Delta t$$

$\Delta U = \Delta W_V + \Delta W_p$ より，$\delta p$ は

$$-\dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v \Delta t = - \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v \Delta t - \pi \delta p r^2 v \Delta t$$

$$\therefore \pi \delta p r^2 v = -\dfrac{1}{2} \pi \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 r^2 v$$

$$\begin{aligned} \therefore \delta p &= - \dfrac{1}{2} \mu \dfrac{N^2}{d^2} I^2 \\ &= - \dfrac{1}{2} \dfrac{B^2}{\mu} \end{aligned}$$

と求められます。

問2

問1より，$\delta p < 0$ であることがわかります。(2)のヲ，ワでの議論と同様に考えて，電流 $I$ がコイルの両端面に作り出す圧力の向きは ② (コイルが円筒軸方向に縮もうとする向き) となります。

問3

コイルを形成する各一巻きの導線には，向きが同じ平行な電流が流れています。平行電流は互いに引き合う方向に力がはたらく (フレミングの左手の法則の復習・理論的解説｜電磁力の定義｜中学から高校まで) ために，問2では②の方向に電流による圧力が生じると考えられます。