解決済み
Focus Goldの問題です。どうしてxは実数であるといえるのでしょうか。
ベストアンサー
基本的に何も書いていなければ実数と考えていいと思います。
この問題の場合、最大最小を考えることになるわけですが、題意の式が複素数になることがあるとしたら、複素数に大小は考えられませんからまずいことになります。
きちんとした試験の場では実数か迷うような問題においてはっきり明示されるのであまり気にしなくてもいいかもしれません。
大小関係を問われているのでkが虚数になってはならない、ということは分かった上で、xを虚数にしてしまうと必ずkも虚数になる、というわけでもありませんから、xの定義域は「kが実数になるような複素数全体」になるのかなと考えていました。慣例的な面もあってわざわざ書かれないということでしょうか？
他の回答者の方も書いていらっしゃいますが、複素数なのか実数なのかはっきりと書いてない場合は、基本は実数の範囲までと考えて差し支えないと思います。複素数の範囲まで考えるのは、高校数学では、高次方程式の解を出すときぐらいに限ると思っておいて問題ないです。
質問者のおっしゃるように、確かに与えられた分数関数を複素数値関数として考えることは可能ですが、その場合、定義域は複素１元(すなわち、実２元)、値域は実1元となり、2変数関数の最大値・最小値の問題となり、これは高校数学ではまともに考えるのが困難になってしまいます。詳しいことは、ご自身で調べてみるといいと思いますが、一般の複素数値関数は実数値関数に比べて、性質が厄介なことが多く、正則関数というかなり数学的に取り扱いのしやすいものに限って議論することがほとんどです。
※本問での「kが実数になるような複素数全体の集合」は複素数平面上で、「実軸全体」及び「点(１)を中心とした半径2の円周上で、点(√3i)と点(ー√3i)と除いた部分」となる。
