多項式の和と差が与えられているとき、解と係数の関係を用いて元の多項式を求めることはできますか？根号の中身が負もとりうる

Question

多項式の和と差が与えられているとき、解と係数の関係を用いて元の多項式を求めることはできますか？ 根号の中身が負もとりうる関数の二乗で表されていて、そのまま外すとなぜか答えと一致するのですが、なぜ絶対値をつけなくよいのでしょうか

@pemen · Accepted Answer

　「多項式の和と差が与えられているとき、解と係数の関係を用いて元の多項式を求めることはできますか？」

　元の2つの多項式を $p(x)、q(x)$ として、その和と差 $a(x)、b(x)について$

$p(x)+q(x)=a(x)$

$p(x)-q(x)=b(x)$

が分かっているときには、

$p(x)=\dfrac{a(x)+b(x)}{2}$

$q(x)=\dfrac{a(x)-b(x)}{2}$

となると簡単に言えます。すなわち $p(x)とq(x)の違いを気にしないのであればp(x)、q(x)は求まります$ (差の部分が $p(x)+q(x)なのかq(x)-p(x)$ なのかが分からないので)。

　小生には解と係数を利用する方法に関してはわかりませんでした。

　「根号の中身が負もとりうる関数の二乗で表されていて、そのまま外すとなぜか答えと一致するのですが、なぜ絶対値をつけなくよいのでしょうか」

　これに関しては元の問題を見てみないと何とも言えません。一般に上記のような場合そのまま根号を外すのは同値変形ではありません。おそらく同値変形を誤ってもたまたまあっていた、というのが実際のところではないでしょうか。