順列。AAA、KKの両方を含む順列の時、6C2×7C3×3！にならず解説のようになる理由を教えてください。

AAAとKKなど続いている部分は1つの文字として扱って、それ以外の並べ替えをしていると思います。

AAAのみを含む順列ではAAAは１まとまりになっているので、AAA K K Y D Iの６つのうちKとKの2つのみが同じ文字だと考えて、${}_6\mathrm{C}_2$として、残りの4つを並び替えています。

同じようにKKのみを含む順列ではKK A A A Y D Iの7つのうちAとAとAの3つが同じなので${}_7\mathrm{C}_3$となっています。

よってAAAやKKなどまとめるものについては並び替えのパターンを考えなくて良くなるので

AAAとKKの両方の並びを含むものはAAA KK Y D Iの5つの文字の並び替えのみ考えればよいということだと思います。

考え方はいろいろあるので、解答例が自分にあっていない時は参考書を変えることもおすすめします。