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部分分数分解について、授業では全く分かりませんでした。

通分の逆ということは分かるのですが、具体的にどのような計算手順、方法で分解するのでしょうか。

回答(1件)

とりあえず基本だけ。


ax+b(x+A)(x+B)\dfrac{ax+b}{(x+A)(x+B)} の部分分数分解が px+A+qx+B\dfrac{p}{x+A}+\dfrac{q}{x+B} になるとき


px+A+qx+B=p(x+B)+q(x+A)(x+A)(x+B)=(p+q)x+(pB+qA)(x+A)(x+B)\begin{align*}\dfrac{p}{x+A}+\dfrac{q}{x+B}&=\dfrac{p(x+B)+q(x+A)}{(x+A)(x+B)}\\&=\dfrac{(p+q)x+(pB+qA)}{(x+A)(x+B)}\end{align*}

より連立方程式

{p+q=apB+qA=b\begin{cases}p+q=a\\pB+qA=b\end{cases}

をとけばよい。


2x+3(x+1)(x+2)\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)} の部分分数分解

ax+1+bx+2=a(x+2)+b(x+1)(x+1)(x+2)=(a+b)x+(2a+b)(x+1)(x+2)\begin{align*}\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}&=\dfrac{a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}\\&=\dfrac{(a+b)x+(2a+b)}{(x+1)(x+2)}\end{align*}

より連立方程式

{a+b=22a+b=3\begin{cases}a+b=2\\2a+b=3\end{cases}

を解いて

{a=1b=1\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}

なので

2x+3(x+1)(x+2)=1x+1+1x+2\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}

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