とりあえず基本だけ。
(x+A)(x+B)ax+b の部分分数分解が x+Ap+x+Bq になるとき
x+Ap+x+Bq=(x+A)(x+B)p(x+B)+q(x+A)=(x+A)(x+B)(p+q)x+(pB+qA)
より連立方程式
{p+q=apB+qA=b
をとけばよい。
例 (x+1)(x+2)2x+3 の部分分数分解
x+1a+x+2b=(x+1)(x+2)a(x+2)+b(x+1)=(x+1)(x+2)(a+b)x+(2a+b)
より連立方程式
{a+b=22a+b=3
を解いて
{a=1b=1
なので
(x+1)(x+2)2x+3=x+11+x+21