• 回答締め切り

    @Keio

    2025/5/3 12:30

    1 回答

    部分分数分解について、授業では全く分かりませんでした。

    通分の逆ということは分かるのですが、具体的にどのような計算手順、方法で分解するのでしょうか。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅱ・B
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    回答（1件）

    @DoubleExpYui

    2025/5/7 8:47

    とりあえず基本だけ。


    ax+b(x+A)(x+B)\dfrac{ax+b}{(x+A)(x+B)} の部分分数分解が px+A+qx+B\dfrac{p}{x+A}+\dfrac{q}{x+B} になるとき


    px+A+qx+B=p(x+B)+q(x+A)(x+A)(x+B)=(p+q)x+(pB+qA)(x+A)(x+B)\begin{align*}\dfrac{p}{x+A}+\dfrac{q}{x+B}&=\dfrac{p(x+B)+q(x+A)}{(x+A)(x+B)}\\&=\dfrac{(p+q)x+(pB+qA)}{(x+A)(x+B)}\end{align*}

    より連立方程式

    {p+q=apB+qA=b\begin{cases}p+q=a\\pB+qA=b\end{cases}

    をとけばよい。


    例 2x+3(x+1)(x+2)\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)} の部分分数分解

    ax+1+bx+2=a(x+2)+b(x+1)(x+1)(x+2)=(a+b)x+(2a+b)(x+1)(x+2)\begin{align*}\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}&=\dfrac{a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}\\&=\dfrac{(a+b)x+(2a+b)}{(x+1)(x+2)}\end{align*}

    より連立方程式

    {a+b=22a+b=3\begin{cases}a+b=2\\2a+b=3\end{cases}

    を解いて

    {a=1b=1\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}

    なので

    2x+3(x+1)(x+2)=1x+1+1x+2\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}

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