高校数学IA　整数の性質です

$a$と$b$の最大公約数を$GCD(a,b)$と表します。

(GCDはgreatest common divisorの頭文字をとっています。)

$a=bq+r$の時、$GCD(a,b)$と$GCD(b,r)$は等しいという性質を

繰り返し用いています。

今回の問題では、一番上の式より

$GCD(5n+6,3n+1)=GCD(3n+1,2n+5)$

二番目の式より

$GCD(3n+1,2n+5)=GCD(2n+5,n-4)$

三番目の式より

$GCD(2n+5,n-4)=GCD(n-4,13)$となるため

$GCD(5n+6,3n+1)=GCD(n-4,13)$が得られる。

$a=bq+r$の時、$GCD(a,b)$と$GCD(b,r)$が等しいというのはそういうものとして暗記してしまってもいいと思いますし、なぜこうなるのか（こうなることの証明）が知りたい場合「高校数学の美しい物語」で証明、解説してるページがあったのでリンクを載せておきます。

https://manabitimes.jp/math/672