解の配置（6）少なくとも〜問題について

「誰でもわかるようなたいへん詳しい解説を求めます」とありますが、全て細かく説明すると逆に本質が見えなくなってしまいそうなので、多分ここじゃないかなと思い当たる所に焦点を当てて解説してみますね。

違ったら追加で解説をつけますので、おっしゃってください。

---以下解説---

二次方程式①を変形し、

$y=x^2+2$…②　と　$y=a(2x-1)$…③

の2つのグラフから考えていきます。

②はごく普通の放物線です。

③は$a$によって傾きが変化しますが、$x=1/2$のときは$a$の値によらず必ず$y=0$となるので、

つまり、定点$(1/2,0)$を通る傾き$2a$の直線です。

よって、放物線②と直線③が、

Ａ：異なる2点で交わる(範囲指定なし)

Ｂ：少なくとも1つは$-1<x<3$の範囲で交わる

を満たすような③の傾き$2a$の$a$の範囲を考えれば良いことになります。

②,③を重ね合わせてみましょう。＜画像(i)参照＞

③は傾きが定まっていないので、Ａの条件を満たすためには、まず赤マル○の直線のような場所である必要があります。緑バツ×の直線では共有点すらもつことができません。

そこで、どこまでが○でどこからが×なのか、つまり【接点を探そう！】と言うわけです。

接点は二次方程式①の判別式$D=0$となるところなので、これを解いて$a=-1,2$。

つまり、$a$の値が-1と2のときに②と③は接します。これでギリギリポイントを見つけられました。

ここで図を確認してみましょう。＜画像(ii)参照＞

③の通る定点と②の位置関係から、

$a=-1$のときの直線③と$a=2$のときの直線③の間であれば全て条件を満たしそうですね。

ただ、$a$は傾きに関する数なので、範囲の取り方には注意が必要です。

よって、$a<-1,2<a$が出てきます。

これで答えが出た気がしますが、条件Ｂを確認していませんのでまだ終われません。

そこで、次に確認すべきは、

【接点が条件Ｂの範囲と比べてどうか？】です。

これは図から判断できる部分ですので、その辺りがちゃんと考慮できている解答者ですよ〜とアピールできる図をかいておけばOKです。つまりは、接点の$x$座標と$-1<x<3$が書いてあれば問題ないわけです。

ですので、模範解答では$D=0$のときの$a$を求めたあと、その流れでそのまま、接点の$x$座標を求め、しれっとその情報を図に入れてあります。

ちなみに、ここで$a$と$x$の値が同じになるのはたまたまなので、$a$の値がいつもそのまま$x$になるとは思わないでください。(実は似たような値になる問題が多いですが、それは整数値で求められるような問題にすると、関数がいつも同じような物になってしまうためです。)

あとは答案にはあまり現れない部分になりますが、解く人が考えておく視点を説明して解説を終わります。＜画像(iii)参照＞

答案の書き方については、模範解答を参考になさってください。