数学の質問です。 $A=B$と$A^2=B^2$の同値性？に就いて考えて居たのですが、良く分からないことがあります。自分

Question

数学の質問です。 $A=B$と$A^2=B^2$の同値性？に就いて考えて居たのですが、良く分からないことがあります。自分は「$A=B \iff A^2=B^2 \land   A=B$」と言う結論に達したのですが、これって本末転倒じゃないですか？何か腑に落ちないので助けて下さい。自分でも質問したいことを的確に表現出来ませんが、このモヤモヤの解決にお力をお貸し下さい。 回答宜しくお願い致します。

@atozkoxo · Answer

$\ A,\ B\ $が実数の場合に限って議論することにしましょう。  $$ A=B \Leftrightarrow A^2 = B^2 $$ が成り立たない理由は、二乗することによって正負の情報がつぶれてしまうかれと言えます。実際 $$ A^2 = B^2 \Leftrightarrow (A+B)(A-B)=0 \Leftrightarrow A = B \lor A=-B$$ となり、正負の一致が条件から省かれていることが分かります。逆に言えば、正負の一致という条件を付け加えれば同値と言えそうです。 例えば、 $$ A,\ B\ の正負が一致 \Leftrightarrow AB\geq 0 $$ が成り立つ（証明はやってみてください）ので、 $$ A=B \Leftrightarrow A^2=B^2\land AB\geq 0$$ となります。  （他にもいろいろな表現はあると思います。） 補足: $$A,\ Bの正負が一致\Leftrightarrow AB\geq 0$$ について、$0$は「正の数でもあり、負の数でもあるとしてよい」という条件を付け加えておきます。この条件付けが気持ち悪ければ、命題を $$　A,\ Bの正負が一致\lor A=0\lor B=0\Leftrightarrow AB\geq 0　$$ と読み替えてください。

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$\ A,\ B\$ が実数の場合に限って議論することにしましょう。

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A, B \ A,\ B\ A, B が実数の場合に限って議論することにしましょう。

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