1対1対応数Ⅲの例題11(3)について質問です。

ノートの写真の最後から3行目と最後から2行目の間の式変形で、

$$\sum^m_{i=1}i(x^2)^i\rightarrow 0(m\rightarrow\infty)$$としているのが一番大きく影響した間違いでしょう。

この和をとるには結局解答の方針を使うことになるので2度手間になります。

ここからは発展的な話ですが、記述解答として採点する場合に減点されやすいポイントがあります。

答案では$A_{2m-1}+A_{2m}$の$m$を無限に飛ばして$A(x)$を求めていますが、このように偶奇で分けて和をとると、収束を示したのは$n$が偶数の時のみになってしまいます。これがどうしてかは、$A_{2m-1}+A_{2m}$を実際に書いてみると分かりやすいです。

$A_{2m-1}+A_{2m}$

$=(a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1})+(a_2+a_4+\cdots+a_{2m})$

$=a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots+a_{2m-1}+a_{2m}$

最後の項を見ると、必ず偶数番目の項になっていることがわかります。

よって、1番目から奇数番目まで和の収束を示せていません。つまり無限級数が振動してしまう場合が残されています。

これを解消するには、$a_n$が$0$に収束することを示せばいいです。