写真の(３)のXaの導出についてなのですが、等加速度運動の公式を用いて解いたら解答とは全く違う答えになってしまいました。

結論から言うと、$x_a=\dfrac{2mv_at}{2m+kt^2}$ は不正解です。

計算式自体に誤りはないですが、$a,x_a,v_a$ の扱いに誤りがあります。

物体が時刻 $t$ における位置を $x$ としたとき、物体の速度は $v=\dfrac{dx}{dt}$ と、$\bold{位置を時間で微分する}$ことによって得られます。

同様にして加速度は、$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}$ と、$\bold{速度を時間で微分する、すなわち位置を時間で2回微分する}$ことによって得られます。

つまり、速度や加速度は、位置によって変わる可能性があるということです。ばねの弾性力はその最も有名な例です。

そもそも等加速度運動の式 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ は、$\bold{等加速度運動}$でのみ利用できる式です。

今回の問題は等加速度ではないので、この式は利用できません。

単振動であることから、振幅と角振動数を用いて正弦の式を使いましょう。

ちなみに、等加速度運動の式は、微分の逆である積分を用いることで得られますね。

$$x=\int_{0}^{t}vdt=\int_{0}^{t}(v_0+at)dt$$

位置・速度・加速度の時間による微分と積分の関係が理解できていれば、単振動の問題は解きやすくなると思います。