2017の東北大の問題で、複素数の方程式の解の個数について議論させる問題を解いている途中に疑問に思いました。この問題は

Question

2017の東北大の問題で、複素数の方程式の解の個数について議論させる問題を解いている途中に疑問に思いました。

この問題は、虚数係数の方程式の解の個数なんぞ考えたことがない→実数を探して、いつも通りの方程式に帰着させる、と考えればすぐに解けるのですが、

虚数係数の方程式を一般に、考えることは不可能ですか？

この問題をなにも考えずに解いた(最初に自分が失敗)結果、右の写真の方程式を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件を求める必要があったのですが、ここから回答不能になりました。ここから回答を進めることはできますか？

学べることが1つあったのでもうお腹いっぱいですが、気になるのでお願いします！！

@ontama_udon · Accepted Answer

右の式の是非が僕には分からないので、「複素係数の一般方程式の解について複素数のままの形で考えることはできるか」という問いに一般化して答えます。  こと2次方程式に関して言えば、高校数学でも十分考えられると思います。  まず2次方程式の解の公式が複素数係数方程式に使えるか、 工夫すれば使えます。導出も実数係数と同じようにできるのでやってみてください。 複素係数方程式$αz^2+βz+γ=0$の解の公式は、 $$ \frac{-β+ (β^2-4αγ)^{\frac{1}{2}}}{2α} $$ と書けます。 このとき、$ (β^2-4αγ)^{\frac{1}{2}}$は平方根なので+と-の2個の値が入ると思ってください。複素数の$\frac{1}{2}$乗は数Ⅲで習いますよね。  実数係数において判別式は$b^2-4ac$でしたが、これも複素係数で使えます。 ただし、 $β^2-4αγ = 0 \iff$重解なので解は$1$個 $β^2-4αγ 
eq 0 \iff$解は$2$個 となります。  3次方程式、4次方程式についても、解の公式が使えるので同様です。 また複素数係数の解の個数は、どれだけ重解があるかによって決まるので、微分することで求められる場合もあります。  なので、右の式の解の個数が2個になる条件は $$ \frac{\bar{α}-β}{\bar{β}-α}γ 
eq 0 $$ になってしまうのかなと思います。