画像の証明がわかりません。3垂線の定理について調べている過程でたどりついた場所に書かれていました。

2つの平行でない平面の交線に二点 $O,H$ を取り、

$\angle{PHO}=\angle{HQO}=90^{\circ},OP=1$ となる二点 $P,Q$ をとると、

$\cos{\alpha}=OH$ , $\cos{\beta}=\dfrac{OQ}{OH}$ なので、$\cos{\alpha}・\cos{\beta}=\cos{\gamma}$ より $\cos{\gamma}=OQ$

三角比の定義の逆を考えると、$\angle{PQO}=90^{\circ}$ が成り立ちます

あとは三垂線の定理（とその系）を使うだけ

逆に $\triangle{OPH}\perp\triangle{OQH}$ であるとき、$\triangle{OPH}\perp OQ$ より $\triangle{PQO}=90^{\circ}$

このとき、$\cos{\alpha}=OH$ , $\cos{\beta}=\dfrac{OQ}{OH}$ , $\cos{\gamma}=OQ$ なので、

$\cos{\alpha}・\cos{\beta}=\cos{\gamma}$ が成り立つことがわかる

「$\triangle{OPH}$ を通る平面と $\triangle{OQH}$ を通る平面が垂直に交わること」

の必要十分条件が $\cos{\alpha}・\cos{\beta}=\cos{\gamma}$ であるということなので、三角形の形状にかかわらずこの公式は成り立ちます