定積分

$2x=t$ と置換すると $dx=\dfrac{1}{2}dt$ なので、

$$\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{3+\cos{2x}}dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{3+\cos{t}}dt$$

さらに $u=\tan{\dfrac{t}{2}}$ と置換すると

$$\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{3+\cos{t}}dt=\dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{u^2+2}du=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}x \right) \right]_{-\infty}^{\infty}=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

留数定理つかってもいけます