$2x+2y+z=2$　の時、$x^2+2y^2+z^2$の最小値は？という問題の具体的な解き方を教えてください

$z=2-2x-2y$ なので、

$$x^2+2y^2+z^2=5x^2+6y^2+8xy-8x-8y+4$$

の最小値を求めます！（普通の二変数関数の問題ですね）

$x$ に注目して平方完成すると、

$$5 \left( x+\frac{4y-4}{5} \right) ^2+\frac{14y^2-8y+4}{5}$$

さらに $y$ の方も平方完成して、

$$5 \left( x+\frac{4y-4}{5} \right) ^2+\frac{14}{5} \left( y-\frac{2}{7} \right) ^2+\frac{4}{7}$$

よって、$x=\dfrac{4}{7}\ , y=\dfrac{2}{7} , z=\dfrac{2}{7}$ で最小値 $\dfrac{4}{7}$ を取ります！

蛇足ですが..

$$\begin{cases}f_x(x,y)=10x+8y-8=0 \\ f_y(x,y)=12y+8x-8=0\end{cases}$$

を解いて $x=\dfrac{4}{7}\ , y=\dfrac{2}{7}$ とも求められます

$f_{xx}(x,y)=10 , f_{yy}(x,y)=12 ,f_{xy}(x,y)=8 , f_{yx}(x,y)=8$ なので

$$\begin{vmatrix} 10 & 8 \\8 & 12\end{vmatrix}=56 >0$$

とヘッシアンを計算でき、$f_{xx}(x,y)=10$ と合わせればきちんと最小値を取ることがわかります;;

この解放として挙げられるのが、まず変数を減らすことに焦点を当てて、$2$変数まで落とせたらどちらかの変数で平方完成をして、片方を定数とみることで最小値やが出す、というような方法です。実際に求めてみます。

最初に与えられた条件で変数を減らします。$z$を消去するように考えます

$$z=-2(x+y-1)　なので、 z^2=4(x+y-1)^2$$

$3$変数関数に入れ込んで

$$6y^2+8y(x-1)+5x^2-8x+4$$

という$2$変数にできましたのでこれを$y$について平方完成させて

$$6\left\{y+\frac{2}{3}(x-1)\right\}^2+\dfrac{1}{3}(7x^2-8x+4)$$

ここでわかるのが、$y=-\dfrac{2}{3}(x-1)$のときに、全体の関数自体が最小値を取ることが分かります。したがって$\dfrac{1}{3}(7x^2-8x+4)$の最小値を求めることになりますね

$$\dfrac{1}{3}(7x^2-8x+4)=\dfrac{7}{3}(x-\dfrac{4}{7})^2+\dfrac{4}{7}$$

故に、$x=\dfrac{4}{7}$のとき最小値$\dfrac{4}{7}$を取ることが示されました。残りの$x,y$も出して、

$$(x,y,z)=\left(\dfrac{4}{7},\dfrac{2}{7},\dfrac{2}{7}\right)のとき、最小値\dfrac{4}{7}をとる。$$

以上で求まります。