四次関数の二重接線を求めるサイトについての質問です。

元の記事を読みました。二重接線の一意性はたとえば次のように示せます。

$f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$ が $2$ 次式 $Q(x) = Ax^2 + Bx + C$，および $1$ 次式 $R(x)$ で

$$x^4 - 2x^3 + 1 = (Ax^2 + Bx + C)^2 + R(x)$$

の形に書けたとする。右辺を展開し，$4$ 次から $2$ 次までの係数を左辺に比較すると

$$1 = A^2, \quad -2 = 2AB, \quad 0 = B^2 + 2AC。$$

よって，$A = \pm 1,\ B = \mp 1,\ C = \mp 1/2$（複号同順）となる。$A,B,C$ の符号に関係なく，平方 $Q(x)^2$，および $f(x)$ の $Q(x)$ による剰余 $R(x)$ は一意に決定する。つまり，$f(x) = Q(x)^2 + R(x)$ と書く仕方は一意的である。■

少し手を加えれば，この証明を一般の $4$ 次式 $f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ へ拡張できることは明らかだと思います。つまり一般に，$4$ 次曲線の二重接線は存在するとしたら一意的です。

それを知った上だと一意性の議論はいらないようにも思われますが，論述式の試験問題ではやはりちゃんと上のような議論をした方がいいと思います。