初めまして。ARCCOTANGENTと申します。

こちらこそ初めまして、@Enigmathematicと名乗るものです。

Enigmatic(謎めいた),mathematic(数学的)が由来です。因みに上のお二方のご質問には大体自分が答えています、変な積分ばっかりでとても楽しくさせてもらってます(笑)　積分ありがとうございます

$$\cos^2 x=tとし、　\dfrac{dt}{dx}=-2 \sin x \cos x$$

$$Y=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{(t-1)^4}{\sqrt{t}} t^{\frac{2}{5}} dt$$

ただひたすらに計算

$$=-\dfrac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{10}}(t^4-4t^3+6t^2-4t+1)dt$$

$$=-5 t^{\frac{9}{10}}(\dfrac{1}{49} t^4-\dfrac{4}{39} t^3+\dfrac{6}{29} t^2-\dfrac{4}{19} t+\dfrac{1}{9} )+C$$

$$∴Y=-5 \cos^{\frac{9}{5}} x(\dfrac{1}{49} \cos^8 x-\dfrac{4}{39} \cos^6 x+\dfrac{6}{29} \cos^4 x-\dfrac{4}{19} \cos^2 x+\dfrac{1}{9} )+C$$

さすがに自信なくしました(笑)　もし何かあったら訂正するかもしれません