力学の質問です。以下の問題は、この問題集を出版した人が作った問題で、過去に入試問題として出たものではありません。

一応きちんとした説明を与えておきますが、高校範囲はかなり逸脱します。結果として地球（固定惑星）の中心が焦点になることは覚えていた方がよいでしょう。

本設定において、運動方程式は以下のようになる。$\bm{e}_r$の定義は後に明らかにする。

$$m\frac{d^2 \bm{r}}{dt^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\bm{e}_r$$

ここで、$\bm{r}$は原点$\ O\$からの位置を表し、$r=|\bm{r}|$。

さて、２次元極座標を導入する。２次元極座標とは、直交座標$\ (x,\ y)$の代わりに

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\tan\theta=\frac{y}{x}$$

なる$\ (r,\ \theta)$を用いて点を指定する座標系である。また、原点から$\ (r,\ \theta)$に伸びる方向の単位ベクトルを$\ \bm{e}_r$、$\ (r,\ \theta)$を原点から見て反時計回りに回転させる方向の単位ベクトルを$\ \bm{e}_\theta$とする。すなわち、以下の様に定義する。

$$\begin{align}\bm{e}_r=\cos\theta \bm{e}_x+\sin\theta\bm{e}_y\\\bm{e}_\theta=-\sin\theta\bm{e}_x+\cos\theta\bm{e}_y\end{align}$$

（単位円上にこの２つのベクトルを描き、その意味を確認せよ。）

図形的な認識が難しい場合には、以下のサイトを見ると良い。

https://toy1972.hatenablog.com/entry/2020/06/06/082310

さて、この２つの間には

$$\frac{d\bm{e}_r}{d\theta}=\bm{e}_\theta,\ \frac{d\bm{e}_\theta}{d\theta}=-\bm{e}_r$$

という関係があることもわかる。これを用いて運動方程式を書き換えてみよう。

今回$\bm{r}=r\bm{e}_r$だから、運動方程式は

$$m\left[ \frac{d^2 r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 \right]\bm{e}_r+m\left[ r\frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} \right]\bm{e}_\theta=-G\frac{Mm}{r^2}\bm{e}_r$$

これを各成分ごとに議論することで

$$\begin{align}\frac{d^2 r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=-G\frac{M}{r^2}\\ r\frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=0\end{align}$$

を得る。(4)式を踏み込んで解釈すると、

$$\frac{d}{dt}\left( r^2 \frac{d\theta}{dt} \right)=0$$

すなわち

$$mr^2\frac{d\theta}{dt}=h$$

なる$\ h$は定数であると分かる。この$\ h$は角運動量と呼ばれるものの特殊ケースであり、角運動量は大学以降の物理で極めて重要になる概念である。（質量$\ m$を掛けたのは角運動量に触れるためであり、本来の論理にはあまり関係ないため、あまり深く考える必要はない。）

さて、これを変形した

$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{h}{mr^2}$$

を(3)式に代入してみると

$$\begin{align}\frac{d^2 r}{dt^2}-r\left(\frac{h}{mr^2}\right)^2=-G\frac{M}{r^2}\end{align}$$

を得る。これは$\ r$を$\ t$の関数と見立てた微分方程式だが、これを$\ \theta$を変数とした微分方程式に変えたい。そこで、

$$\frac{dr}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{dr}{d\theta}=\frac{h}{mr^2}\frac{dr}{d\theta}$$

$$\frac{d^2 r}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left( \frac{h}{mr^2}\frac{dr}{d\theta} \right)=\frac{h}{mr^2}\frac{d}{d\theta}\left( \frac{h}{mr^2}\frac{dr}{d\theta} \right)$$

と変形する。そうすれば、(5)式は$\ \theta$を変数とした$\ r$の微分方程式になる筈だ。この形の微分方程式を解くのは容易ではないが、

$$u=\frac{1}{r}$$

と変換し、$\ u$の微分方程式に書き直すと

$$\begin{align}\frac{d^2 u}{d\theta^2}+u-\frac{GMm^2}{h^2}=0\end{align}$$

を得る。この微分方程式を解くのは簡単で、

$$u(\theta)=\frac{GMm^2}{h^2}+A\cos(\theta +\alpha)$$

となる。（$\ A$と$\ \alpha$は定数。）よって

$$\begin{align}r(\theta)=\frac{\frac{h^2}{GMm^2}}{1+\frac{Ah^2}{GMm^2}\cos(\theta+\alpha)}\end{align}$$

を得る。(7)式のように、極座標系における$\ r\$と$\ \theta\$の関係を示した式を極方程式と呼ぶ。特に、(7)式の形は『楕円・双曲線』型の極方程式であり、$\underline{原点が焦点となっている楕円（または双曲線)}$を表す。

この点においては、以下を確認すると良い。

https://manabitimes.jp/math/1113

（説明終）

この議論を追うのは中々大変ですが、別に高校生が理解しきる必要もないのかなと思います。（どうせ物理学科に行けばやらされます。）

とりあえず「数学的な議論のもとで示されるんだな」ということを知っておくだけで良いのではないでしょうか。