大阪大学(1992)「$2$ 以上の自然数 $n$ に対して，不等式

$$S_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}$$

とすると、座標平面における面積の評価で

$$S_n<\int_{2}^{n}\frac{dx}{(x-1)^2}-\int_{2}^{3}\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{4}\right]dx-\int_{3}^{4}\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{27}\right]dx$$

と分かる。また

$$\int_{2}^{n}\frac{dx}{(x-1)^2}=1-\frac{1}{n-1}<1$$

であり、

$$\int_{2}^{3}\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{4}\right]dx=\frac{1}{4},\ \int_{3}^{4}\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{27}\right]dx=\frac{7}{54}>0.12$$

よって

$$S_n<1-\frac{1}{4}-0.12=0.63<0.65$$

感想

ぱっと見より計算が多いような印象でした。グラフを書いて、面積に着目してじっと見れば上から抑える方法は気付けるような気がします。もし、「微積分」というキーワードが無ければもう少し難しい問題だったかもしれません。

回答ありがとうございます。

ぱっと見より計算が多いのはそういう意図でつくった（評価の仕方を工夫しなければ退屈な数値計算を沢山こなす羽目になる）ので，解答者の所感と出題者の想定がちゃんと一致しているようで安心しました。

送って頂いた解答についてですが，$\displaystyle{\sum_{k = 1}^\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6} \approx 1.64$ を考えると，$S_n < 0.63$ という評価は実際より小さいようです。この評価のズレがどこから来るのかうまく説明できないのですが，どのあたりだと思われますか？

解答を見返して気づいたのですが、ずれの計算で

$$\int_{3}^{4}　\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{27}　\right]dx$$

を計算していますが、正しくは

$$\int_{3}^{4}\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{9}\right]dx$$

を計算すべきですね。ここを修正して、必要に応じて求めるずれを増やせば正しいものになると思います。申し訳ない。

ざらっと計算してみましたが、多分これ結局15ぐらいまでずれを取らなくてはならないので大変ですね。もし他に手筋の良い方法があれば教えて頂きたいです。