解決済み
mgiz

212122^{\frac{1}{2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}

（２の２のルート２分の１乗分の１乗）

あるいは

21222^{\frac{1}{\sqrt[\sqrt{2}]{2}}}

（２のルート２乗根ルート２分の１乗）

あるいは

222\sqrt[{\sqrt[{\sqrt{2}}]{2}}]{2}

（ルート２乗根ルート２乗根２）


（分かりにくくてすみません。）


これらは全て同じ数だと思いますが、この値は有理数でしょうか。無理数でしょうか。

できれば高校数学の範囲で示していただけるとありがたいですが、無理なら構いません。

補足

＜補足＞

無理なようでしたら、現在の数学ではできない旨教えていただけると幸いです。

いいね1

回答 1件

ベストアンサー

DoubleExpYui

ゲルフォント＝シュナイダーの定理から無理数かと思います


ゲルフォント＝シュナイダーの定理

代数的数(※1)である,α(≠0,1)\alpha(\neq0,1)とβ(有理数でない)\beta(\text{有理数でない})に対し,αβ\alpha^\betaは超越数(※2)である.


※1

係数が有理数である代数方程式

a0xn+a1xn−1+⋯+an=0,ai:有理数a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,\hspace{5mm}a_i:\text{有理数}

の解となる数


※2

代数的数でない複素数.実数の場合は全て無理数




補足

高校範囲は無理です

いいね0
  • DoubleExpYui

    補足の補足

    高校範囲は「少なくとも私では」説明できません.



    あとは身近な例出しときますね.

    例1 代数的数

    例えば x2−2=0x^2-2=0 の解 x=±2x=\pm\sqrt{2} は代数的数です.


    例2 超越数

    例えばネイピア数 ee や円周率 π\pi は超越数です.

  • mgiz

    ありがとうございます！

    助かりました！

  • mgiz
    お礼

    ありがとうございます！

    助かりました！🙏

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