• 解決済み

    @mgiz

    2023/6/27 8:09

    1 回答

    212122^{\frac{1}{2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}

    （２の２のルート２分の１乗分の１乗）

    あるいは

    21222^{\frac{1}{\sqrt[\sqrt{2}]{2}}}

    （２のルート２乗根ルート２分の１乗）

    あるいは

    222\sqrt[{\sqrt[{\sqrt{2}}]{2}}]{2}

    （ルート２乗根ルート２乗根２）


    （分かりにくくてすみません。）


    これらは全て同じ数だと思いますが、この値は有理数でしょうか。無理数でしょうか。

    できれば高校数学の範囲で示していただけるとありがたいですが、無理なら構いません。

    補足

    ＜補足＞

    無理なようでしたら、現在の数学ではできない旨教えていただけると幸いです。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅱ・B
    1. 高校生
    2. 数学

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @DoubleExpYui

    2023/6/28 14:13

    ゲルフォント＝シュナイダーの定理から無理数かと思います


    ゲルフォント＝シュナイダーの定理

    代数的数(※1)である,α(≠0,1)\alpha(\neq0,1)とβ(有理数でない)\beta(\text{有理数でない})に対し,αβ\alpha^\betaは超越数(※2)である.


    ※1

    係数が有理数である代数方程式

    a0xn+a1xn−1+⋯+an=0,ai:有理数a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,\hspace{5mm}a_i:\text{有理数}

    の解となる数


    ※2

    代数的数でない複素数.実数の場合は全て無理数




    補足

    高校範囲は無理です

    返信(2件)

    @DoubleExpYui

    2023/6/28 14:19

    補足の補足

    高校範囲は「少なくとも私では」説明できません.



    あとは身近な例出しときますね.

    例1 代数的数

    例えば x2−2=0x^2-2=0 の解 x=±2x=\pm\sqrt{2} は代数的数です.


    例2 超越数

    例えばネイピア数 ee や円周率 π\pi は超越数です.

    @mgiz

    2023/7/1 12:23

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