数学教えてください。

まず、1.に関して、$(分子の次数)\over(分母の次数)$において、(分子の次数)≧(分母の次数)のときはまず次数を減らすといいと思います。なので、$$\int {x^2\over{x+1}} \ dx=\int ({x-1+{1\over{x+1}}} )\ dx$$って変換してから、

$${{1\over2}x^2}-x+\log|x+1|+C$$($C$は積分定数)っていう感じです。

2.は部分分数分解を意識してみると、

$$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$$

と変形できるので(※お馴染みの変形なのでめちゃ大事)

$$\int {1\over{x(x+1)}} \ dx=\int \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\ dx=\log |x|-\log|x+1|+C$$

3.はパッと見て半角の公式が思い浮かぶかがカギになってくると思います。

$$\sin^2 x=\dfrac {1-\cos2x}{2}$$

これ使ってまた変形しましょう。

$$\int \sin^2 x\ dx=\int \dfrac {1-\cos2x}{2}\ dx={1\over2}x-{1\over4}\sin2x+C$$

となります。因みに、

$$\sin^2 x=\dfrac {1-\cos2x}{2}　\cos^2 x=\dfrac {1+\cos2x}{2}$$

はセットでぜひ覚えておいて下さい。三角関数の積分はこれでだいぶカバーできます。

最後に4.は加法定理の逆のやつ、

$$\cos{x_1}\sin{x_2}=\dfrac{1}{2}\{\sin{(x_1+x_2)}-\sin{(x_1-x_2)}\}$$

これを使っちゃいましょう！(残り３つは割愛させてください…)よって、

$$\int \cos2x\sin x\ dx=\int \dfrac {1}{2} \{\sin{(2x+x)}-\sin{(2x-x)}\}\ dx$$

$$=\dfrac {1}{6} \{3\cos{x}-\cos{3x}\}\ +C$$

となります。割愛させていただいた残り3つの式は、三角関数の加法定理から導けるのでやってみてください。これで解説は以上です、長くなってごめんなさい。