(1)は自力でできたのですが、(2)の解き方がわからないので、教えていただけるとありがたいです。なぜそういう発想が出てくるのかなどもあれば説明していただけると嬉しいです。

といてみました。

違ったらごめんなさい。

(1)$I_n=n\cdot I_{n-1}-\dfrac{1}{e}$

(2) (1)を繰り返し、$n$をどんどん下げていく

$$\begin{align*}I_n&=n\cdot I_{n-1}-\dfrac{1}{e}\\&=n\left\{(n-1)I_{n-2}-\dfrac{1}{e}\right\}-\dfrac{1}{e}\\&=n(n-1)I_{n-2}-\dfrac{1}{e}(1+n)\\&=n(n-1)\left\{(n-2)I_{n-3}-\dfrac{1}{e}\right\}-\dfrac{1}{e}(1+n)\\&=n(n-1)(n-2)I_{n-3}-\dfrac{1}{e}\left\{1+n+n(n-1)\right\}\\&\vdots\\\end{align*}$$

このように繰り返していくと

$$I_{n-m}=a_m \cdot I_{n-m-1}+\dfrac{1}{e}b_m$$

ただし$a_m,b_m$は次で与えられる。

$$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}a_m&=n(n-1)\cdots (n-m) \\b_m&=1+n+n(n-1)+\cdots+n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\end{aligned}\right.\end{equation*}$$

となっていることが分かる。

ここで、

$$\begin{align*}a_m&=n(n-1)\cdots(n-m)\\&= _nP_m\end{align*}$$

$$\begin{align*}b_m&=1+n+n(n-1)+\cdots+n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\\&=\sum_{i=0}^{m-1} {}_nP_i\end{align*}$$

と変形できる。

これを$m=n$まで繰り返すと

$$\begin{align*}I_n&={}_nP_nI_0-\dfrac{1}{e}\sum_{i=0}^{n-1} {}_nP_i\\&=n!\left(1-\dfrac{1}{e}\right)-\dfrac{1}{e}\sum_{i=0}^{n-1} {}_nP_i\\&=n!-\dfrac{1}{e}\sum_{i=0}^{n} {}_nP_i\end{align*}$$

を得るが、これは数学的帰納法より確かに正しい。