重心速度を使わずにエネルギー等で解くことは可能でしょうか。

エネルギー保存則ではなく運動方程式を使って求められます。

三角柱台の左向きの加速度を $A$ 、台から見た物体の斜面下向きの加速度を $a$ とおき、三角柱台と物体の間の垂直抗力の大きさを $N$ とすると、

運動方程式およびつり合い式から次の $3$ つの式が立てられる。

$$\begin{aligned}ma&=mg\sin\theta+mA\cos\theta \\MA&=N\sin\theta \\N+mA\sin\theta&=mg\cos\theta\end{aligned}$$

これを解くと、$A=\dfrac{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g,a=\dfrac{(M+m)\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}g$ となる。

物体が斜面を $l$ だけすべる時間を $t$ とすると、$l=\dfrac{1}{2}at^2$ が成り立つから、求める距離 $x$ は、

$$x=\dfrac{1}{2}At^2=\dfrac{m\cos\theta}{M+m}l$$

が得られる。

以上のようになりますが、やはり水平方向での運動量保存則から重心が動かないことを利用して、

$$-Mx+m(l\cos\theta-x)=0 \iff x=\dfrac{m\cos\theta}{M+m}l$$

とした方が簡単ですね。