解決済み
6Answer

8(1)でa/xがでてくるイメージがしにくいです。分母にxがでてくるのは後から計算しやすくするためですよね？

添付画像1
いいね5

回答 2件

ベストアンサー

退会したユーザー

　P(x)(x−a)mQ(x)\dfrac{P(x)}{(x - a)^m Q(x)} の形の有理式を部分分数へ分解してゆくと

Am(x−a)m+Am−1(x−a)m−1+⋯+A1x−a+R(x)Q(x) \frac{A_m}{(x - a)^m}+ \frac{A_{m - 1}}{(x - a)^{m - 1}}+ \cdots+ \frac{A_1}{x - a}+ \frac{R(x)}{Q(x)}

の形をとります。

　1x2(x+3)\dfrac{1}{x^2(x + 3)} を分解した形として

Ax2+Bx+Cx+3\frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}

の形を仮定するのはそういう事情からです。


いいね2
  • 6Answer

    なるほどそれではAm=x^2+3の場合はAm-1=x+3のように定数は残したままでよいのでしょうか？

  • 退会したユーザー

    　言葉たらずでしたが、Am,Am−1,⋯ ,A1A_m, A_{m - 1}, \cdots, A_1 はすべて定数です。たとえば、次の有理式は

    7x3+x2−31x+7(x−1)2(x2+x−6)=4(x−1)2+5x−1+2x+1x2+x−6\frac{7x^3 + x^2 - 31x + 7}{(x - 1)^2(x^2 + x - 6)} = \frac{4}{(x - 1)^2} + \frac{5}{x - 1} + \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6}

    のように分解されます。(x−1)2,x−1(x - 1)^2, x - 1 を分母にもつ項はどちらも分子が定数なのが見てとれると思います。

    　A(x−a)k\dfrac{A}{(x - a)^k}（AA は定数）の形まで持ち込みさえすれば、

    ∫A(x−a)kdx={Alog⁡∣x−a∣(k=1 のとき)−A(k−1)(x−1)k−1(k>1 のとき)\int \frac{A}{(x - a)^k} dx = \begin{cases}A\log|x - a| & (k = 1\ のとき) \\\dfrac{-A}{(k - 1)(x - 1)^{k - 1}} & (k > 1\ のとき)\end{cases}

    と積分できます。だからこそ部分分数に分解してこの形へ持ち込みます。


  • 6Answer

    分かりました。

  • 6Answer
    お礼

    ❤️ありがとうございます

Yuhei

はい。loglogの加法定理を使いたいという解答の方針だと思います。


いいね1
  • 6Answer

    すみませんがlogの加法定理とはどういったものでしょうか？私は三角関数で出てくる加法定理しか知らないので詳しく教えてもらえないでしょうか？

    添付画像1
  • Yuhei

    僕の呼び方です。すみません。以下の公式を利用したいという目的の回答方針だと思います(写真)。そもそも積分で分数をみたら高確率でloglogの利用だと思います。loglogの微分は分数だからです。なのでできるだけ項を増やせば良いだろうという発想から、部分分数分解の利用(数学II)に頭を切り替えます。自分で解答を作るときはいかに簡単かつ最速で答えに辿り着くゲームと捉えれば、自ずとその発想が自然であるか理解できます。

    添付画像1
    補足

    抑えるではなく押さえるですね

  • Yuhei

    あと1x\dfrac{1}{x}にいくら1x\dfrac{1}{x}を足しても、1x2\dfrac{1}{x^2}にならないのであらかじめ、恒等式の係数を決定する段階で、1x2\dfrac{1}{x^2}を準備しておきます。

関連する質問

関連する記事

質問する