• 解決済み

    @6Answer

    2023/2/28 20:53

    2 回答

    8(1)でa/xがでてくるイメージがしにくいです。分母にxがでてくるのは後から計算しやすくするためですよね？

    1. 高校生
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    3. 数学Ⅲ

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    削除済みユーザー

    2023/2/28 22:51

    　P(x)(x−a)mQ(x)\dfrac{P(x)}{(x - a)^m Q(x)} の形の有理式を部分分数へ分解してゆくと

    Am(x−a)m+Am−1(x−a)m−1+⋯+A1x−a+R(x)Q(x) \frac{A_m}{(x - a)^m}+ \frac{A_{m - 1}}{(x - a)^{m - 1}}+ \cdots+ \frac{A_1}{x - a}+ \frac{R(x)}{Q(x)}

    の形をとります。

    　1x2(x+3)\dfrac{1}{x^2(x + 3)} を分解した形として

    Ax2+Bx+Cx+3\frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}

    の形を仮定するのはそういう事情からです。


    返信(3件)

    @6Answer

    2023/3/2 17:01

    なるほどそれではAm=x^2+3の場合はAm-1=x+3のように定数は残したままでよいのでしょうか？

    削除済みユーザー

    　言葉たらずでしたが、Am,Am−1,⋯ ,A1A_m, A_{m - 1}, \cdots, A_1 はすべて定数です。たとえば、次の有理式は

    7x3+x2−31x+7(x−1)2(x2+x−6)=4(x−1)2+5x−1+2x+1x2+x−6\frac{7x^3 + x^2 - 31x + 7}{(x - 1)^2(x^2 + x - 6)} = \frac{4}{(x - 1)^2} + \frac{5}{x - 1} + \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6}

    のように分解されます。(x−1)2,x−1(x - 1)^2, x - 1 を分母にもつ項はどちらも分子が定数なのが見てとれると思います。

    　A(x−a)k\dfrac{A}{(x - a)^k}（AA は定数）の形まで持ち込みさえすれば、

    ∫A(x−a)kdx={Alog⁡∣x−a∣(k=1 のとき)−A(k−1)(x−1)k−1(k>1 のとき)\int \frac{A}{(x - a)^k} dx = \begin{cases}A\log|x - a| & (k = 1\ のとき) \\\dfrac{-A}{(k - 1)(x - 1)^{k - 1}} & (k > 1\ のとき)\end{cases}

    と積分できます。だからこそ部分分数に分解してこの形へ持ち込みます。


    @6Answer

    2023/3/3 12:22

    分かりました。

    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    ❤️ありがとうございます

    そのほかの回答（1件）

    @Yuhei

    2023/2/28 22:26

    はい。loglogの加法定理を使いたいという解答の方針だと思います。


    返信(3件)

    @6Answer

    2023/3/2 17:05

    すみませんがlogの加法定理とはどういったものでしょうか？私は三角関数で出てくる加法定理しか知らないので詳しく教えてもらえないでしょうか？

    @Yuhei

    2023/3/2 19:15

    僕の呼び方です。すみません。以下の公式を利用したいという目的の回答方針だと思います(写真)。そもそも積分で分数をみたら高確率でloglogの利用だと思います。loglogの微分は分数だからです。なのでできるだけ項を増やせば良いだろうという発想から、部分分数分解の利用(数学II)に頭を切り替えます。自分で解答を作るときはいかに簡単かつ最速で答えに辿り着くゲームと捉えれば、自ずとその発想が自然であるか理解できます。

    補足

    抑えるではなく押さえるですね

    @Yuhei

    2023/3/2 19:31

    あと1x\dfrac{1}{x}にいくら1x\dfrac{1}{x}を足しても、1x2\dfrac{1}{x^2}にならないのであらかじめ、恒等式の係数を決定する段階で、1x2\dfrac{1}{x^2}を準備しておきます。

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