（2）についてです

$$\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^{n-1} \Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^k$$

とすべきところを、

$$\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{\sum_{k=1}^{n-1} 2^k}$$

としているからですね。

「逆数の和」と「和の逆数」が異なるのは当たり前に理解できると思いますが、複雑になったときに正しい式変形だと思い込んでしまうことはよくあることですね。

特にこの分野でよく見るミスなので、気をつけるとよいと思います。

Σは和を凝縮した形で書いているだけなので、分からなくなったら $+$ を使って書き出してみると分かりやすくなるかもしれません。

また、解答例の

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k}=\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$$

のように、逆から足すことを考えると楽に計算できることがよくあるので、意識するとよいと思います。