解決済み @atarime 2023/2/23 10:18 1 回答 In=∫0π/2sinnx dx I_{n}=\int_{0}^{π/2} sin^{n}x\ dx In=∫0π/2sinnx dxについて、limn→∞In=0lim_{n \to \infty} I_{n}=0 limn→∞In=0の証明を考えてみましたが、この操作をしても良いのでしょうか。0<k<π/2 0<k<π/20<k<π/2に実数kをとり、面積で評価すると0<In≦ksinnk+π/2−k0<I_{n}≦ksin^{n}k+π/2-k0<In≦ksinnk+π/2−kここで、limk→π/2limn→∞ksinnk+π/2−k=limk→π/2π/2−k=0lim_{k \to π/2} lim_{n \to \infty} ksin^{n}k+π/2-k = lim_{k \to π/2} π/2-k=0 limk→π/2limn→∞ksinnk+π/2−k=limk→π/2π/2−k=0よりlimn→∞In=0lim_{n \to \infty} I_{n}=0 limn→∞In=0としてもいいのでしょうか。それともlimn→∞limk→π/2ksinnk+π/2−k=limn→∞π/2+π/2−π/2=π/2lim_{n \to \infty} lim_{k \to π/2} ksin^{n}k+π/2-k= lim_{n \to \infty}π/2+π/2-π/2=π/2limn→∞limk→π/2ksinnk+π/2−k=limn→∞π/2+π/2−π/2=π/2となってしまうのでだめなのでしょうか。 高校生数学数学Ⅲ 1 ベストアンサー 削除済みユーザー 2023/2/25 6:37 簡単のために Iω=limn→∞In,F(n,k)=ksinnk+π/2−kI_\omega = \lim_{n \to \infty} I_n,\quad F(n,k) = k \sin^n k + \pi/2 - kIω=limn→∞In,F(n,k)=ksinnk+π/2−k とおきます。 F(n,k)F(n,k)F(n,k) は InI_nIn の単なる上界なので、limn→∞limk→π/2F(n,k)=π/2\lim_{n \to \infty} \lim_{k \to \pi/2} F(n,k) = \pi/2limn→∞limk→π/2F(n,k)=π/2 から言えるのは、Iω=π/2I_\omega = \pi/2Iω=π/2 ではなく Iω≤π/2I_\omega \leq \pi/2Iω≤π/2 です。これは Iω=0I_\omega = 0Iω=0 という結論と矛盾しないので、証明がだめになることはありません。 一方、limk→π/2limn→∞F(n,k)=0\lim_{k \to \pi/2} \lim_{n \to \infty} F(n,k) = 0limk→π/2limn→∞F(n,k)=0 から言えるのは Iω≤0I_\omega \leq 0Iω≤0 です。ここから直ちに Iω=0I_\omega = 0Iω=0 としてよいです。 2 質問者からのお礼コメント 謎がすっきり解決しました。ありがとうございます。 シェアしよう! そのほかの回答(0件)
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