• 解決済み

    @atarime

    2023/02/23

    1 回答

    In=∫0π/2sinnx dx I_{n}=\int_{0}^{π/2} sin^{n}x\ dx について、limn→∞In=0lim_{n \to \infty} I_{n}=0 の証明を考えてみましたが、この操作をしても良いのでしょうか。


    0<k<π/2 0<k<π/2に実数kをとり、面積で評価すると

    0<In≦ksinnk+π/2−k0<I_{n}≦ksin^{n}k+π/2-k

    ここで、

    limk→π/2limn→∞ksinnk+π/2−k=limk→π/2π/2−k=0lim_{k \to π/2} lim_{n \to \infty} ksin^{n}k+π/2-k = lim_{k \to π/2} π/2-k=0

    よりlimn→∞In=0lim_{n \to \infty} I_{n}=0 としてもいいのでしょうか。

    それとも

    limn→∞limk→π/2ksinnk+π/2−k=limn→∞π/2+π/2−π/2=π/2lim_{n \to \infty} lim_{k \to π/2} ksin^{n}k+π/2-k= lim_{n \to \infty}π/2+π/2-π/2=π/2となってしまうのでだめなのでしょうか。

    1. 高校生
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    2023/02/25

    　簡単のために Iω=lim⁡n→∞In,F(n,k)=ksin⁡nk+π/2−kI_\omega = \lim_{n \to \infty} I_n,\quad F(n,k) = k \sin^n k + \pi/2 - k とおきます。

    　F(n,k)F(n,k) は InI_n の単なる上界なので、lim⁡n→∞lim⁡k→π/2F(n,k)=π/2\lim_{n \to \infty} \lim_{k \to \pi/2} F(n,k) = \pi/2 から言えるのは、Iω=π/2I_\omega = \pi/2 ではなく Iω≤π/2I_\omega \leq \pi/2 です。これは Iω=0I_\omega = 0 という結論と矛盾しないので、証明がだめになることはありません。

    　一方、lim⁡k→π/2lim⁡n→∞F(n,k)=0\lim_{k \to \pi/2} \lim_{n \to \infty} F(n,k) = 0 から言えるのは Iω≤0I_\omega \leq 0 です。ここから直ちに Iω=0I_\omega = 0 としてよいです。


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