(3)についてです

$u_n$ から $u_{n+1}$ に推移しないからです。

$u_n$ は得点が $n$ 点に達した後、$4,5,6$ の目が出て終了する確率です。

$n$ 点で試行を終了しているのに、$(n+1)$ 点になることはないですよね。

解答例のように、得点が $n$ 点になる確率を $a_n$ などとおくと、これはまだ試行が終了していないので $(n+1)$ 点以上になることも可能です。

そこで $a_n$ についての漸化式を立ててその一般項を求め、$u_n=\dfrac{1}{2}a_n$ とすればよいでしょう。