数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図も載せて頂きたいです。回答宜しく願います。 [1]円に内接する四角形$

Question

数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図も載せて頂きたいです。回答宜しく願います。

[1]円に内接する四角形 $ABCD$ に於いて、 $AD=2AB$ とする。また、対角線 $AC$ と $BD$ の交点 $E$ が $BD$ を $3:2$ に内分する。

(1) $\triangle ABC$ の面積を $S_1$ 、 $\triangle ACD$ の面積を $S_2$ とする時、 $S_1:S_2$ を求めよ。

(2) $BC:CD$ を求めよ。

(3) $\angle BAD=120°$ 、 $AB=2$ とする時、四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

補足

答えは下記の通りです。

(1) $3:2$

(2) $3:1$

(3) $5\sqrt{3}$

Accepted Answer

(1)

明らかに、

$(ABC) : (ADC) = (ABE)+(CBE) : (ADE)+(CDE) = 3 : 2$

(2)

(1) より $(ABC) : (ADC) = 3 : 2$ であるから、

$\frac{3}{2} = \frac{(ABC)}{(ADC)} = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin \angle{ABC}}{AD \cdot DC \cdot \sin \angle{ADC}}$

ここで $AD = 2AB$ 、 $\sin \angle{ABC} = \sin \angle{ADC}$ を使えば、

$\frac{3}{2} = \frac{BC}{2DC}$

したがって

$BC : DC = 3 : 1$

(3)

(2) の結果から、ある実数 $t$ を用いて $BC = 3t,\ DC = t$ と書ける。 $\triangle{BCD}$ に余弦定理を適用すれば

$BD^2 = (3t)^2 + t^2 - 2 \cdot 3t \cdot t \cdot \cos 60^\circ = 7t^2$

一方、 $\triangle{BAD}$ に余弦定理を適用すれば

$BD^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 28$

したがって、

$t^2 = 4$

すると $\Box ABCD$ の面積は

$\begin{aligned}(ABCD) &= (BAD) + (BCD) \\ &= \frac{1}{2} [2 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ + 3t \cdot t \cdot \sin 60^\circ] = 5\sqrt{3}\end{aligned}$