解決済み

曲線の通過範囲を求めるときに、存在条件に言い換えることについて質問です。


存在条件に言い換えて考える問題には、曲線の通過範囲以外にも、値域や軌跡,点の存在範囲がありました。


例えば、

(x,y)がD上を動くとき、

X=f(x,y),Y=g(x,y)

と表される(X,Y)の存在範囲Fとは、


ある(x,y)∈Dを用いてX=f(x,y),Y=g(x,y)と表される点(X,Y)の集合


であるので、


(X,Y)∈F

⇔∃x∃y{(x,y)∈D∧X=f(x,y)∧Y=g(x,y)}


というのはわかりました。


しかし、曲線の通過範囲については疑問が2つあります。


⑴下の写真の赤線を引っ張った部分について、②で表されるのは曲線ではないのですか?

曲線の集合と言った方がしっくりきます。

曲線が点の集合だからこのように言ってるのですか?


⑵⑴のように曲線の集合であると考えると、

f(x,y)=0∈F ⇔ ∃t (①かつ②)となり、

∃t (①かつ②) は

点∈Fの条件でなく、曲線∈Fの条件となる気がします。


質問の意味がわからなかったらできるだけ噛み砕いて解説していただきたいです。

ベストアンサー

ベストアンサー

(1)

 f(x,y,t)=0f(x, y, t) = 0 があらわすものは曲線の集合であるという理解でまったく正しいです。「曲線族」という言葉はたしかに「曲線の集合」を意味します。もっとも「族」という言葉を使うとき、それはただの集合ではなく、集合に属するひとつひとつの曲線が番号づけされたものを指します。番号というのはパラメータ tt のことです。

 より詳しい説明は以下にゆずります。


(2)

 たとえば、f(x,y,t)=x2+y2t2f(x,y,t) = x^2 + y^2 - t^2 というように ff を具体化してみます。方程式 f(x,y,t)=0f(x,y,t) = 0 はいま

x2+y2=t2x^2 + y^2 = t^2

という方程式に同じです。これは、半径 tt、中心 (0,0)(0,0) の円の方程式です。かりに t=1t = 1 として、平面上にこの円を描いてみましょう。tt1t21 \leq t \leq 2 の範囲で動かせば、円はだんだん膨らんでいって、t=2t = 2 となった時点で膨らむのをやめるでしょう。そのあいだに円のなぞったドーナツ状の領域が、いまの場合の通過範囲 FF です。

 さて、(x,y)(x,y)FF に属するとしたら、円を膨らませてゆくどこかの時点で、円は (x,y)(x,y) を通過したはずです。その「どこかの時点」で、円はある半径 tt をとっていたはずです。つまり、

(x,y) が F に属するある半径 t をもつ円について (x,y) はその円周上にのる(x,y)\ が\ F\ に属する \\ \Longleftrightarrowある半径\ t\ をもつ円について\ (x,y)\ はその円周上にのる

このことを論理記号で書けば

(x,y)Ft, x2+y2=t2t, f(x,y,t)=0\begin{aligned}(x,y) \in F &\Longleftrightarrow \exists t,\ x^2 + y^2 = t^2 \\ &\Longleftrightarrow \exists t,\ f(x,y,t) = 0 \end{aligned}

となります。

 一般の曲線族 ff についても同じように考えます。パラメータ ttαtβ\alpha \leq t \leq \beta の範囲で動かすとき、曲線 f(t)f(t)tt の変化にしたがって空間上を動きます。そのとき曲線のなぞった領域が通過範囲 FF です。点 (x,y)(x,y)FF に属するということは、どこかの時点で曲線が (x,y)(x,y) を通過したことを意味します。その「どこかの時点」での曲線が tt で番号づけされていたとすれば、

(x,y)Ft, f(x,y,t)=0(x,y) \in F \Longleftrightarrow \exists t,\ f(x,y,t) = 0

となります。tt の動く範囲まで合わせて明示するなら、

(x,y)Ft (αtβf(x,y,t)=0)(x,y) \in F \Longleftrightarrow \exists t\ (\alpha \leq t \leq \beta \land f(x,y,t) = 0)

ということです。


(余計かも知れないこと)

 私ひとりの意見をいえば、t (αtβf(x,y,t)=0)\exists t\ (\alpha \leq t \leq \beta \land f(x,y,t) = 0) という論理記号による表現は分かりにくいので、自分なりに読み下した方がゆくゆく便利だと思います。私は普段「ある t[α,β]t \in [\alpha, \beta] について f(x,y,t)=0f(x,y,t) = 0 が成り立つ」のように読み下しています。



質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

丁寧にありがとうございました。非常によくわかりました。例もわかりやすかったです。申し訳ないですが、写真を載せてしまったので、もしかしたら質問を削除するかもしれません。

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