実数条件についてなのですが、これって成立しますか？もし成立しないのなら反例もお願いします。

$$\begin{cases}a \in \mathbb{R} \\b \in \mathbb{R}\end{cases} \Longleftrightarrow\begin{cases}a + b \in \mathbb{R} \\a - b \in \mathbb{R}\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}(a + b)^2 \geq 0 \\(a - b)^2 \geq 0\end{cases}$$

については正しいです。

$$\begin{cases}a + b \in \mathbb{R} \\a - b \in \mathbb{R}\end{cases} \Longleftarrow\begin{cases}(a + b)^2 \geq 0 \\(a - b)^2 \geq 0\end{cases}$$

については（やかましいことを言うなら）$a + b$ の実部と虚部とがともに非零のとき、$(a + b)^2$ は虚部が非零の複素数となり、複素数一般には順序が定義されていないためそもそも $(a + b)^2 \geq 0$ という文が無意味になってしまいます。しかし「$(a + b)^2 \geq 0,\ (a - b)^2 \geq 0$ という文が意味をもつ限りにおいて」という但し書きをつけるなら $\Longleftarrow$ についても正しいです。