フィボナッチ数列型の漸化式を解く時に、めんどくさいので

ベストアンサー

sHlcNRe46 2023/1/29

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  Rarara 2023/1/29

  帰納法での示し方がいまいち思い付かずわからないので教えて欲しいです！

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  sHlcNRe46 2023/1/29

  $n=1,2$ において漸化式を満たすことを示し、

  $n=k,k+1$ で漸化式を満たすと仮定して、

  $$\begin{aligned}F_{k+2} &= \dfrac{\alpha^{k+2}-\beta^{k+2}}{\alpha-\beta}= \dfrac{(\alpha+\beta)(\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}) - \alpha\beta(\alpha^{k}-\beta^{k})}{\alpha-\beta} \\\\&=\dfrac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha-\beta}+\dfrac{\alpha^{k}-\beta^{k}}{\alpha-\beta} \qquad(\because \alpha+\beta=1,\alpha\beta=-1)\\ \\&=F_{k+1}+F_k\end{aligned}$$

  より $n=k+2$ においても漸化式を満たす

  
  

  とすれば完了です。

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  Rarara 2023/2/1

  $F_{k+2}$

  =3行目

  =2行目

  =1行目

  ということですか？

  一行目の繋ぎ方に違和感を覚えてしまうのですがどういうことですか。

  
  
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  sHlcNRe46 2023/2/2

  返信には日本語としての誤りがありますね。失礼しました。

  「漸化式」としていた部分をすべて「一般項の式」とすると、意味が通る答案になります。

  
  

  また、

  $n=1,2$ で一般項の式を満たすことを示し、

  $n=k,k+1$ で一般項の式を満たすと仮定して、$F_{k+2}$ を漸化式から変形していき(先ほどの答案を逆からたどる)、$n=k+2$ でも一般項の式を満たす。

  としても良いでしょう。

  
  

  しかし、解答として自然なのは、前者だと思います。

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  Rarara 2023/2/3

  1行目のこの部分はまだ証明できてないのに使ってるように見えます。

  $F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}$は、最初から相手から与えれているから、

  使ってもいいと思うのですが、

  示したいのはk+1とk+2を仮定したら、$F_{k+2}$でも一般項が下記のようになること、ではないのですか？

  もしよければ他の方の意見も聞きたいです。