高校数学の場合の数・確率の問題です。解答解説お願いします。
nは2以上の自然数とする。異なるn個のボールを4つの箱に入れる方法について考える。ただし、空の箱は2つ以下とする。
①箱を区別するとき、入れ方は何通りか
②箱を区別しないとき、入れ方は何通りか
①が4^n −4通りで、②は空箱が1個以下のときと空箱が2個のときで場合分けされるところまではわかりました。その後がわかりません。解説お願いします。
ベストアンサー

削除済みユーザー
①はたしかに 通りとなりますね。しかし②はいささか高校で学習する範囲を超えている気がします。以下に書いたことは、私ならこう考えて解答する、という程度のことだと思って読んでください。
「 個の区別可能なボールを 個の箱へ分けて入れる仕方の数は、第2種スターリング数 として知られている。たとえば、ボール を 個の箱へ分けて入れる仕方は
の 通りであるから、 である。第2種スターリング数には
という表示が知られている(この公式の導出については、たとえば下に掲げた参考文献の第3章を参照のこと)。
さて、 個のボールを 個の箱へ分けて入れる仕方の数 を考える。ちょうど つに分けるならば であるが、空の箱があってもよいので、
である。ここで上のスターリング数の公式から
となることが計算できる。ためしに計算してみると、 のとき 。一方、 個のボール を 個の箱へ入れる仕方は
の 通りであり、たしかに一致する(ここで は箱が空であることを表わす)。
「空の箱は 個以下」という条件を考えれば、条件に適わない 通りの場合が除外され、つ以上の箱へボールを入れる仕方の数は
であると分かる」
参考:C.ベルジュ著 野崎昭弘訳『組合せ論の基礎』サイエンス社 サイエンスライブラリ数学=9