• 解決済み

    @KAIRO_WAIRO

    2023/1/12 13:07

    1 回答

    高校数学の場合の数・確率の問題です。解答解説お願いします。


    nは2以上の自然数とする。異なるn個のボールを4つの箱に入れる方法について考える。ただし、空の箱は2つ以下とする。

    ①箱を区別するとき、入れ方は何通りか

    ②箱を区別しないとき、入れ方は何通りか


    ①が4^n −4通りで、②は空箱が1個以下のときと空箱が2個のときで場合分けされるところまではわかりました。その後がわかりません。解説お願いします。

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    @SidukaSato

    2023/1/16 22:07

    　①はたしかに 4n−44^n - 4 通りとなりますね。しかし②はいささか高校で学習する範囲を超えている気がします。以下に書いたことは、私ならこう考えて解答する、という程度のことだと思って読んでください。


    「nn 個の区別可能なボールを m≤nm \leq n 個の箱へ分けて入れる仕方の数は、第2種スターリング数 SnmS_n^m として知られている。たとえば、ボール a,b,c,da,b,c,d を 22 個の箱へ分けて入れる仕方は

    a∣bcd, b∣acd, c∣abd, d∣abc, ab∣cd, ac∣bd, ad∣bca|bcd,\ b|acd,\ c|abd,\ d|abc,\ ab|cd,\ ac|bd,\ ad|bc

    の 77 通りであるから、S42=7S_4^2 = 7 である。第2種スターリング数には

    Snm=1m!∑k=1m(−1)m−kmCkknS_n^m = \frac{1}{m!} \sum_{k = 1}^m (-1)^{m - k} {}_m\mathrm{C}_k k^n

    という表示が知られている（この公式の導出については、たとえば下に掲げた参考文献の第3章を参照のこと）。

    　さて、n≥2n \geq 2 個のボールを 44 個の箱へ分けて入れる仕方の数 TnT_n を考える。ちょうど 44 つに分けるならば Tn=Sn4T_n = S_n^4 であるが、空の箱があってもよいので、

    Tn=Sn1+Sn2+⋯+Snmin⁡(n,4)T_n = S_n^1 + S_n^2 + \cdots + S_n^{\min(n,4)}

    である。ここで上のスターリング数の公式から

    Tn=2n−2+4n−1+26T_n = 2^{n - 2} + \frac{4^{n - 1} + 2}{6}

    となることが計算できる。ためしに計算してみると、n=3n = 3 のとき Tn=2+(16+2)/6=5T_n = 2 + (16 + 2)/6 = 5。一方、33 個のボール a,b,ca,b,c を 44 個の箱へ入れる仕方は

    abc∣ϕ∣ϕ∣ϕ, a∣bc∣ϕ∣ϕ, b∣ac∣ϕ∣ϕ, c∣ab∣ϕ∣ϕ, a∣b∣c∣ϕabc|\phi|\phi|\phi,\ a|bc|\phi|\phi,\ b|ac|\phi|\phi,\ c|ab|\phi|\phi,\ a|b|c|\phi

    の 55 通りであり、たしかに一致する（ここで ϕ\phi は箱が空であることを表わす）。

    「空の箱は 22 個以下」という条件を考えれば、条件に適わない 11 通りの場合が除外され、22つ以上の箱へボールを入れる仕方の数は

    Tn−1=2n−2+4n−1−46T_n - 1 = 2^{n - 2} + \frac{4^{n - 1} - 4}{6}

    であると分かる」


    参考：C.ベルジュ著 野崎昭弘訳『組合せ論の基礎』サイエンス社 サイエンスライブラリ数学=9


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