この問題の解答を教えて頂きたいです

まずは問題からわかることを整理しましょう。

1.円$C_1,C_2$の中心と半径はいくつでしょうか。

2.交点$P,Q$の$x$座標はいくつでしょうか。

3.点$R$の座標はいくつでしょうか。

さて、ここまでできますか？

1.$C_1:(x+1)^2+y^2=9,C_2:(x-3)^2+y^2=a$より、

$C_1:A(-1,0)$を中心とする半径3の円

$C_2:B(3,0)$を中心とする半径$\sqrt{a}$の円

2.$C_1,C_2$を同時に満たす$x$を考えればよいので、

$$\begin{align*}x^2+y^2+2x-8&=x^2+y^2-6x+9-a\\2x-8&=-6x+9-a\\8x&=17-a\\x&=\dfrac{17-a}{8}\end{align*}$$

3.2から$R\left(\dfrac{17-a}{8},0\right)$

です。

それでは設問に取り掛かりましょう。

(1)$C_1,C_2$の2つの円が2点で交わるとき、次の不等式が成立します。

分からなければ作図してみてください。

①2円の中心の距離は、2円の半径の和より小さい。

$AB=4,\text{半径の和}=3+\sqrt{a}$より

$$\begin{align*}4&\lt3+\sqrt{a}\\1&\lt\sqrt{a}\\1&\lt a\end{align*}$$

②円$C_1$と$x$軸との交点を$S,T(S\text{の}x\text{座標}\lt T\text{の}x\text{座標})$とすると、$C_2$の半径は$BS$より小さい。

$BS=7$より、

$$\begin{align*}\sqrt{a}&\lt7\\a&\lt49\end{align*}$$

①②より、$$1\lt a\lt 49$$

(2)初めに求めた$B,R$の座標から

$$\begin{align*}BR&=3-\dfrac{17-a}{8}\\&=\dfrac{a+7}{8}\end{align*}$$

(3)円$C_1$について、線分$DE,ST$が点$R$で交わるので、方べきの定理より

$$DR\cdot ER=SR\cdot TR$$

が成り立つ。

$S(-4,0),T(2,0)$であるから、

$$\begin{align*}DR\cdot ER&=SR\cdot TR\\&=\left\{\dfrac{17-a}{8}-(-4)\right\}\cdot\left\{2-\dfrac{17-a}{8}\right\}\\&=\left(\dfrac{49-a}{8}\right)\left(\dfrac{a-1}{8}\right)\\&=-\dfrac{1}{64}(a-49)(a-1)\\&=-\dfrac{1}{64}(a^2-50a+49)\end{align*}$$

より、

$$\begin{align*}DR\cdot ER&=-\dfrac{1}{64}(a^2-50a+49)\\&=-\dfrac{1}{64}(a-25)^2+9\end{align*}$$

となるので、$a=25$のとき最大値9をとる。

このとき$R$の座標は

$$\left(\dfrac{17-25}{8},0\right)=(-1,0)$$

である。

以上です。