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この問題の解答を教えて頂きたいです

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まずは問題からわかることを整理しましょう。


1.円C1,C2C_1,C_2の中心と半径はいくつでしょうか。

2.交点P,QP,Qxx座標はいくつでしょうか。

3.点RRの座標はいくつでしょうか。


さて、ここまでできますか?

1.C1:(x+1)2+y2=9,C2:(x3)2+y2=aC_1:(x+1)^2+y^2=9,C_2:(x-3)^2+y^2=aより、

C1:A(1,0)C_1:A(-1,0)を中心とする半径3の円

C2:B(3,0)C_2:B(3,0)を中心とする半径a\sqrt{a}の円


2.C1,C2C_1,C_2を同時に満たすxxを考えればよいので、

x2+y2+2x8=x2+y26x+9a2x8=6x+9a8x=17ax=17a8\begin{align*}x^2+y^2+2x-8&=x^2+y^2-6x+9-a\\2x-8&=-6x+9-a\\8x&=17-a\\x&=\dfrac{17-a}{8}\end{align*}


3.2からR(17a8,0)R\left(\dfrac{17-a}{8},0\right)


です。



それでは設問に取り掛かりましょう。

(1)C1,C2C_1,C_2の2つの円が2点で交わるとき、次の不等式が成立します。

分からなければ作図してみてください。


①2円の中心の距離は、2円の半径の和より小さい。

AB=4,半径の和=3+aAB=4,\text{半径の和}=3+\sqrt{a}より

4<3+a1<a1<a\begin{align*}4&\lt3+\sqrt{a}\\1&\lt\sqrt{a}\\1&\lt a\end{align*}


②円C1C_1xx軸との交点をS,T(Sx座標<Tx座標)S,T(S\text{の}x\text{座標}\lt T\text{の}x\text{座標})とすると、C2C_2の半径はBSBSより小さい。

BS=7BS=7より、

a<7a<49\begin{align*}\sqrt{a}&\lt7\\a&\lt49\end{align*}


①②より、1<a<491\lt a\lt 49


(2)初めに求めたB,RB,Rの座標から

BR=317a8=a+78\begin{align*}BR&=3-\dfrac{17-a}{8}\\&=\dfrac{a+7}{8}\end{align*}


(3)円C1C_1について、線分DE,STDE,STが点RRで交わるので、方べきの定理より

DRER=SRTRDR\cdot ER=SR\cdot TR

が成り立つ。

S(4,0),T(2,0)S(-4,0),T(2,0)であるから、

DRER=SRTR={17a8(4)}{217a8}=(49a8)(a18)=164(a49)(a1)=164(a250a+49)\begin{align*}DR\cdot ER&=SR\cdot TR\\&=\left\{\dfrac{17-a}{8}-(-4)\right\}\cdot\left\{2-\dfrac{17-a}{8}\right\}\\&=\left(\dfrac{49-a}{8}\right)\left(\dfrac{a-1}{8}\right)\\&=-\dfrac{1}{64}(a-49)(a-1)\\&=-\dfrac{1}{64}(a^2-50a+49)\end{align*}


より、

DRER=164(a250a+49)=164(a25)2+9\begin{align*}DR\cdot ER&=-\dfrac{1}{64}(a^2-50a+49)\\&=-\dfrac{1}{64}(a-25)^2+9\end{align*}

となるので、a=25a=25のとき最大値9をとる。

このときRRの座標は

(17258,0)=(1,0)\left(\dfrac{17-25}{8},0\right)=(-1,0)

である。



以上です。

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