途中で挫折しました。この方法で解けますかね？

$$\begin{aligned}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}&=1\\\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}&=1\\\end{aligned}$$となるので、単純に考えて問題の楕円は真円（陰関数表示 $x^{2}+y^{2}=1$）に対して $x$ 方向に $4$ 倍、$y$ 方向に $3$ 倍の拡大を施したグラフであるとわかります。（グラフの拡大縮小については https://manabitimes.jp/math/793 を参照）

すると、下図より $2$ 接線が直交することは自明です。