usa式部分積分について、この方法ではlogxを含んだ原始関数は積分できないとのことで

仰る通り，$\log x$の微分が$\dfrac{1}{x}$になることに原因があります．多項式$\times \log x$にUSA式部分積分を適用すると，多項式$\times \dfrac{1}{x}$が登場しますが，本来であればここで約分をすべきところをそのまま進めてしまうため，答えにズレが現れてしまいます．

ただし，一切方法がないというわけではありません．約分が面倒なら約分が登場しない形にしてしまえばいい，ということで，$\log x = t$で置換する方法が知られています．補足の問題をこの方法で解いてみますと，$x = e^t$，$dx = e^t dt$に注意して，

$$\begin{align*}\int (x^3 + 1) \log x dx &= \int (e^{3t} + 1) t e^t dt \\&= \int (e^{4t} + e^t) t dt\end{align*}$$

となります．この形であればUSA式部分積分が適用できるのですが，変数変換の段階で少々面倒なので，教科書通りの部分積分でやったほうが圧倒的に速いですね．