理系プラチカ57です

この問題の場合、ある変数$t$に対して一つの交点$(x,y)$が定まるので、$t$の値に対応する$(x,y)$がどんなものかを素直に調べる模範解答は順像法を用いているという認識で大丈夫だと思います！（ただし、一般的に順像法と聞いて思い浮かべる$x$を固定して云々という話とは異なるのでちょっと戸惑うかも）

基本的に、

順像法は　変数に対応する点がどんな場所を動くか　を調べるもの

逆像法は　点に対応する変数が存在するかどうか　を調べるもの

です。

（言葉であんまり理解できなくても大丈夫です！問題量をこなしていくうちに頭の中で整理されるようになってくるはずです。）

この問題を逆像法で解くなら......

点$(X,Y)$がある$t$に対応する二直線の交点になっているとき*、

$$\begin{cases}X+t(Y-3)=0\\ tX-(Y+3)=0\end{cases}$$

をみたす$t$が存在するはず。

（*なぜわざわざ大文字の$X,Y$を使ったのか......直線の式に現れる$x,y$は変数を意味しています。すなわち、直線上の点を全て表しているのです。ここで考えたいのはその中からテキトーに選んだ$(X,Y)$という一つの点なので、これは定数なんだよってことを強調するために大文字に変えたのです。）

$t$が存在するかどうかを知りたいので、$t$の方程式とみなして、

$$\begin{cases}t(Y-3)=-X　......①\\ tX=Y+3　 ......②\end{cases}$$

をみたす$t$が存在する条件を調べます。

$t$の係数が単純な②式を利用して、$t=$の形にして上の式に代入したいな～（そしたら①かつ②を満たすtの存在条件を$X$と$Y$の条件式に帰着させることができる！）と思うんですけど、$X=0$だと$0$で割ることになっちゃって都合が悪いので場合分けして考えてみましょう。

(i)$X=0$のとき

①、②に$X=0$を代入して

$$\begin{cases}t(Y-3)=0\\ Y=-3\end{cases}$$

この2つを同時に満たすのは、$t=0$のときだけですよね？

そして、$t=0$のとき、2つの直線は$x=0$と$y=-3$となるので、

$X=0$のときは点$(0,-3)$のみが条件を満たすことがわかりました。

(ii)$X\neq0$のとき

②より$t=\dfrac{Y+3}{X}$

これを①に代入して

$$\dfrac{Y+3}{X}(Y-3)=-X$$

分母を払って

$$(Y+3)(Y-3)=-X^2$$

整理すると

$$X^2+Y^2=9$$

よって、点$(X,Y)$は円$x^2+y^2=9$上に存在し、かつ、この円上にある点は$x\neq0$さえ満たしていれば条件に合うので**、$x\neq0$で描く軌跡は円$x^2+y^2=9$の$x\neq0$の部分に対応することがわかりました。

（**ここの部分が逆像法で一番わかんなくなると思います。というかさっきまで$t$が存在するかどうかとか言ってたのにいつの間にか$t$が消えてて混乱するかもしれません。より深い理解のため、ちょっとした例題を出します。

問)$x^2=s+t$を満たす実数$x$が存在する$s$の範囲とは？

考えてみてください。

答えは$s\geqq-t$です。合っていましたか？

解法......$x$は実数なので$x\geqq0$、よって条件はs+t\geqq0に帰着され$s\geqq-t$が答えとなる。

ここでポイントなのが、存在条件となっている$x$についての情報は$s$と$t$の条件式には一切現れないということです。つまり、存在条件となっている変数は最終的な条件式には絶対現れない！ということが大事なんです。これはいかなる問題でも成り立つことです。なぜか？......存在条件の変数は、ある点や値に対して「ある」「ない」の旗をあげる審判の役割をしていて、その変数が実際にどんな値を取るかは一切問題にならないからです！このイメージは通過領域その他の問題を解くとき非常に肝になるので覚えて帰ってください。なので、元の問題に戻ると、存在条件の変数$t$がどんな値を取るかが点$(X,Y)$の最終的な条件に現れるはずがないんです。わかりましたでしょうか？※ちなみに、逆も成り立つのは単純に同値変形だけをしているからです）

(i),(ii)より、条件満たす点の軌跡は、円$x^2+y^2=9$（ただし点$(0,3)$除く）となります。模範解答と一致しましたね！

さて、長々と書いてしまいましたが、結果として順像法の方が実際に解く上では速いことがわかったと思います。じゃあ逆像法は捨てていいのか？......実は、$t$に条件が付いたとき（例えば「$t$は正の実数」など）には逆像法の方が有利なんです！なぜなら、既に$t$を$X,Y$を用いて表しているので$t$の条件を$X$と$Y$の条件に言い換えやすいからです。なので、どっちか一方だけをやるのではなく、どちらも身に付けてみましょう！（どっちを使った方が楽なのかは、問題演習をたくさんしていけばわかると思います。慣れないうちはすべての問題を順像法と逆像法の両方でトライしてみるのも大事かもしれません）

通過領域は難しい分野ですが、慣れてしまえば決まりきったやり方で解くだけのパターン問題と化してしまうので、頑張って得点源にしていきましょう！！！

今回の要点：

・順像法は　変数に対応する点がどんな場所を動くか　を調べるもの

・逆像法は　点に対応する変数が存在するかどうか　を調べるもの

・存在条件の変数は最終的な条件に一切現れてこない

・存在条件は、ある値に対して「ある」「ない」の旗をあげる審判の役割を果たしている